泰勒公式的變形
- 我們知道泰勒公式是這樣的:f(x)=0!f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
- 可以變形爲:f(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+a3(x−x0)3+Rn(x), 其中 an=n!f(n)(x0)
- 根據上式有:
- f′(x)=a1+2a2(x−x0)+3a3(x−x0)2+...
- f′′(x)=2a2+6a3(x−x0)+...
- f′′′(x)=6a3+...
- …
- 將x0帶入之後,直接約去了x, 有:
- f′(x0)=a1⇒a1=1!f′(x0)
- f′′(x0)=2a2⇒a2=2!f′′(x0)
- f′′′(x0)=6a3⇒a3=3!f′′′(x0)
- …
泰勒公式的應用
1 ) 麥克勞林公式
- ex=1+x+2!1x2+...+n!1xn+o(xn)
- 這裏ex的n階導數都是它本身, 無懼降維打擊
- 其次,ex=∑n=0∞n!xn x∈R
- 進行泰勒展開就有上式
- sinx=x−3!1x3+...+(2m−1)!(−1)m−1x2m−1+o(x2m−1)
- f(x)=sinx,x0=0
- sin′x=cosx、sin′′x=−sinx、sin′′′x=−cosx、sin(4)x=sinx、sin(5)x=cosx、sin(6)x=−sinx、...
- sinx=0+1!1x+2!0+3!−1x3+4!0+5!1x5+6!0+7!−1x7+...
- 由此推出上式
- 另外:可以將它的n階導數看成這樣:f(n)(x)=sin(x+2nπ)
- cosx=1−2!1x2+4!1x4−...+(2m)!(−1)mx2m+o(x2m)
- ln(1+x)=x−21x2+31x3−...+n(−1)n−1xn+o(xn)
- 這裏是複合函數求導
- f(x)=ln(1+x)
- f′(x)=1+x1,f′′(x),f′′′(x),....
- 同理推出上式
- 1−X1=1+x+x2+...+xn+o(xn)
- (1+x)m=1+mx+2!m(m−1)x2+...+n!m(m−1)...(m−n+1)xn+o(xn)
另外:關於sinx=x−3!1x3+...+(2m−1)!(−1)m−1x2m−1+o(x2m−1)的推導,參考下圖,可見n越大,誤差越小
備註:圖片託管於github,請確保網絡的可訪問性
2 ) 計算自然常數e的近似值
- 計算近似值e=limx→∞(1+n1)n,並估計誤差值
- 分析
- y=ex⇒y′=y=ex
- ex≈∑k=0nk!ex0(x−x0)k 令 x0=0⇒
- ex≈1+x+2!x2+...+n!xn 令 x=1⇒
- e≈1+1+2!1+3!1+...+n!1 令 x=10⇒
- e≈2.7182815
- 餘項(誤差):δ=∣R10∣=11!1+12!1+...=11!1(1+121+12∗131+...)<11!1(1+121+1221+...)=11∗11!12=2.73∗10−8 微乎其微了
- 當n逐漸變大時,參考下圖
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