AI筆記: 數學基礎之平面向量

向量

1 ） 概念

• 向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如力、位移等
• 數量：只有大小，沒有方向的量稱爲數量，如年齡、身高、長度、面積、體積、質量等
• 向量和數量的區別：向量有方向，數量沒有方向；數量之間可以比較大小，而向量之間不能比較大小
• 零向量：長度爲0的向量
• 單位向量：長度爲1個單位的向量
• 有向線段：帶有方向的線段叫有向線段，其方向是由起點指向終點，以A爲起點、B爲終點的有向線段記做 $\overrightarrow{AB}$，
• 線段AB的長度也叫做有向線段$\overrightarrow{AB}$的長度，記爲 $|\overrightarrow{AB}|$.
• 書寫有向線段時，起點寫在終點的前面，上面標上箭頭，三角函數都是有向線段

2 ） 相等向量

• 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，記爲 $a = b$
• 任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，並且與有向線段的起點無關
• 在平面上，兩個長度相等且方向一致的有向線段表示同一個向量

2 ） 平行向量

• 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，記爲 $a // b$
• 規定：零向量與任何向量都平行，記爲 $0 // a$
• 任意組平行向量都可以平移到統一直線上，因此，平行向量也叫有線向量

3 ） 總結

• 共線向量所在直線平行或重合，如果兩個向量所在的直線平行或重合，則這兩個向量是平行向量.
• 在平面內，相等的向量有無數多個，它們的方向相同且長度相等.
• 相等向量是共線向量，而共線向量不一定能是相等向量.

向量的運算

1 ） 加法

• 定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法，兩個向量的和仍然是一個向量
• 三角形法則：已知非零向量 a,b, 在平面內任取一點，作 $\overrightarrow{AB} = a, \overrightarrow{BC} = b$, 則向量 $\overrightarrow{AC}$ 叫做向量a與b的和，記爲: $a + b$. 這種求 向量和 的方法叫做向量加法的三角形法則
• 平行四邊形法則：已知兩個不共線向量a,b, 作 $\overrightarrow{AB} = a, \overrightarrow{AD} = b$, 則 A、B、D 三點不共線，以 $\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AD}$ 爲鄰邊作平行四邊形ABCD, 則向量 $\overrightarrow{AC} = a + b$, 這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性

• 向量加法的多邊形法則：n個向量經過平移，順次使前一個向量的終點與後一個向量的起點重合，組成一組向量折線，這n個向量的和等於折線起點到終點的向量。這個法則叫做向量加法的多邊形法則。多邊形法則的實質就是三角形法則的連續應用
• 三角形法則和平行四邊形法則就是向量加法的幾何意義
• 規定： $a + 0 = 0 + a = a$
• 結論：$|a + b| \leq |a| + |b|$

2 ) 減法

• 定義：$a - b = a + (-b)$, 即減去一個向量相當於加上這個向量的相反向量
• 作法：在平面內任取一點 O，作 $\overrightarrow{OA} = a, \overrightarrow{OB} = b$, 則向量 $a-b = \overrightarrow{BA}$，如圖所示

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性

• 幾何意義：如果把兩個向量a,b的起點放在一起，則a-b可以表示爲從向量b的重點指向向量a的終點的向量
• 向量減法的實質是向量加法的逆運算，利用相反向量的定義，就可以把減法化成加法
• 在用三角形法則作向量減法時，只要記住"連接兩向量的終點，箭頭指向被減向量"即可
• 以向量$\overrightarrow{AB} = a, \overrightarrow{AD} = b$ 爲鄰邊作平行四邊形ABCD, 則兩條對角線的向量爲 $\overrightarrow{AC} = a + b, \overrightarrow{BD} = b - a, \overrightarrow{DB} = a - b$, 這一結論在以後應用非常廣泛

3 ） 數乘

• 定義：一般地，實數$\lambda$與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記爲：$\lambda a$
• 長度：$|\lambda a| = |\lambda|a$
• 方向
  • $\lambda > 0$ $\lambda a$的方向與a的方向相同
  • $\lambda = 0$ $\lambda a = 0$
  • $\lambda < 0$ $\lambda a$的方向與a的方向相反
• 實數與向量可以進行數乘運算，其結果是一個向量，不是實數；但實數與向量不能進行加減運算
• 對任意非零向量a, 則向量 $\frac{a}{|a|}$是與向量a同向的單位向量
• $\lambda a$的幾何意義就是把向量a沿着a的方向或反方向擴大或縮小$|\lambda|$倍

向量數乘的運算律

• 設$\lambda, \mu$爲實數
• $\lambda(\mu a) = (\lambda \mu) a$
• $(\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a$
• $\lambda (a + b) = \lambda a + \lambda b$ 分配率
• 特別地：我們有$(- \lambda) a = -(\lambda a) = \lambda (-a), \lambda(a-b) = \lambda a - \lambda b$

4 ) 向量的線性運算

• 向量的加、減、數乘 運算統稱爲向量的線性運算，對於任意向量 a, b 以及任意實數 $\lambda, \mu_1, \mu_2$, 恆有 $\lambda(\mu_1 a \pm \mu_2 b) = \lambda \mu_1 a \pm \lambda \mu_2 b$

5 ) 兩個向量數量積的座標表示

• 數量積的座標表示形式：設 $a = (x_1, y_1), b = (x_2, y_2)$, 則 $a*b = x_1x_2 + y_1y_2$
• 數量積座標形式的推導：
  • 取與x軸，y軸分別同向的兩個單位向量 i、j, 則 $a = (x_1, y_1) = x_1 i + y_1 j, b = (x_2, y_2) = x_2 i + y_2 j$
  • 由數量積的定義可知：$i*i = 1, j*j = 1, i*j = 0, j*i = 0$
  • 所以，$a*b = (x_1 i + y_1 j)(x_2 i + y_2 j = x_1 x_2 i^2 + x_1 y_2 i j + x_2 y_1 j i + y_1 y_2 j^2 = x_1x_2 + y_1y_2$
  • 即：兩個向量的數量積等於他們對應座標的乘積的和

6 ） 向量的模與垂直關係的座標表示

• 向量的模： 設 $a = (x,y)$, 由數量積的座標表示，有 $a*a = x^2 + y^2$, 又 $a * a = a^2 = |a|^2$, 所以，$|a|^2 = x^2 + y^2$, 即：$|a| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• 兩點間的距離公式：已知$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$, 則 $\overrightarrow{AB} = (x_2, y_2) - (x_1, y_1) = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$, 所以 $\overrightarrow{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$, 這就是平面內兩點間的距離公式

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性

• 向量垂直的座標表示：由向量數量積的定義，$a*b = |a|*|b|*cos \theta = x_1 x_2 + y_1 y_2$, 所以 $a \perp b \Leftrightarrow a * b = 0 (|a| * |b| \neq 0 ) \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$

• 向量夾角的座標表示： 設$a = (x_1, y_1), b = (x_2, y_2), \theta$ 是 a 與 b的夾角，由數量積的定義 $a * b = |a| * |b| cos \theta$ , 得 $cos \theta = \frac{a * b}{|a| * |b|}$, 即：$cos \theta = \frac{x_1x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$, 利用此公式，可直接求出兩個向量的夾角