AI筆記: 數學基礎之隨機變量及其分佈

原創

2020-07-02 10:07

1 ） 知識圖譜

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2 ） 相關概念

隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來標識，那麼這樣的變量叫做隨機變量。隨機變量常用字母 $X, Y, \xi, \eta$ 等表示
離散型隨機變量：對於隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
連續型隨機變量：對於隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣的變量叫做連續型隨機變量.
離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別和聯繫：離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果，但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續型隨機變量的結果不可以一一列出
若X是隨機變量，Y = aX + b (a,b是常數), 則Y也是隨機變量，並且不改變其屬性(離散型，連續型)

3 ） 離散型隨機變量的分佈列

概率分佈(分佈列)

設離散型隨機變量X可能取的不同值爲 $x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n$ ，X的每一個值 $x_i$ (i = 1,2,…,n)的概率 $P(X=x_i) = p_i$ , 則稱下表爲隨機變量X的概率分佈，簡稱X的分佈列

X	x1	x2	...	xi	...	xn
P	p1	p2	...	pi	...	pn

性質

兩點分佈

如果隨機變量X的分佈列爲下表，則稱X服從兩點分佈，並稱p = P(X=1) 爲成功概率

X	0	1
P	1 - p	p

二項分佈

如果一次實驗中某時間發生的概率是p, 那麼在n次獨立重複實驗中這個事件恰好發生k次的概率是 $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ , 其中k=0,1,2,…,n, q = 1-p
於是得到隨機變量X的概率分佈如下
- X: 0, 1, …, k, …, n
- P: $C_n^0 p^0 q^n, C_n^1 p^1 q^{n-1}, ..., C_n^kp^kq^{n-k}, ..., C_n^n p^n q^0$
我們稱這樣的隨機變量X服從二項分佈，記爲： $X ~ B(n,p)$ , 並稱 p 爲成功概率
判斷一個隨機變量是否服從二項分佈，關鍵有三點：
- 對立性: 即一次試驗中事件發生與否二者必居其一
- 重複性: 即試驗是獨立重複地進行了n次
- 等概率性: 在每次試驗中事件發生的概率相等
注意：二項分佈的模型是有放回抽樣，二項分佈中的參數是p,k,n

4 ） 離散型隨機變量的均值與方差

離散型隨機變量的均值

一般地，若離散型隨機變量X的分佈列爲
- X: $x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n$
- P: $p_1, p_2, ..., p_i, ..., p_n$
則稱 $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + ... + x_i p_i + ... + x_n p_n$ 爲離散型隨機變量X的均值或者數學期望
它反映了離散型隨機變量取值的平均水平

性質：

離散型隨機變量的方差

一般地，若離散型隨機變量X的分佈列爲：
- X： $x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n$
- P： $p_1, p_2, ..., p_i, ..., p_n$
則稱 $D(x) = \sum_{i=1}^n (x_i - E(x))^2p_i$ 爲隨機變量X的方差，並稱其算術平方根 $\sqrt{D(X)}$ 爲隨機變量X的標準差
它反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動，集中與離散的程度
- D(X)越小，X的穩定性越高，波動越小，取值越集中
- D(X)越大，X的穩定性越差，波動越大，取值越分散

性質

5 ) 正態分佈

正態變量概率密度曲線函數表達式 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} * \sigma} e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, x \in R$
其中 $\mu, \sigma$ 是參數，且 $\sigma > 0, - \infty < \mu < + \infty$ . 記爲： $N(\mu, \sigma^2)$ , 如下圖

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