卡特蘭數與斯特林數

#卡特蘭數
通項公式：
1:$f(n) = \frac{C_{2n}^n}{n+1}$
2:$f(n) = \sum\limits_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)$
常用變形3:$f(n) = C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$
4.$h(n)=h(n-1)*\frac{(4*n-2)}{(n+1)}$
#應用
有一個長度爲$2n$的01序列，其中1,0各$n$個，要求對於任意的整數$k∈[1,n] k \in [1,n]$數列的前$k$個數中，1的個數不少於0。

我們把01操作看成是在平面直角座標系中行走，1向右上走，0向左下走最後一定走到了$(2n,0)$如圖

那麼路徑的數量就是在$2n$步中選擇$n$步，結果是$C_{2n}^n$，然後加入一個限制條件，對於：對於任意前綴，1的個數不少於0。
那麼轉化到座標系中，也就是說走的路徑不應該穿過x軸，即直線$ y=0$，也就是不接觸$y=-1$。
於是我們把與 $y=−1$ 的接觸點的右邊整條路徑以$y=−1$爲對稱軸翻折，於是終點變爲了$(2n,−2)$。如下圖：

那麼此時，從 $(0,0)$ 到 $(2n,−2)$ 的路徑必定至少穿過一次 $y=−1$，不滿足條件，那麼此時的路徑數量即爲總路徑數中不符合題意的路徑數，那麼我們用總路徑數減去不符合的路徑數，就是最終的答案。
而此時的路徑數量也很簡單，由於反轉後終點向下移了兩位，也就意味着 $n-1$ 步是1， $n+1$ 步是0，總方案 $C_{2n}^{n-1}$ ，那麼最終的答案就是 $C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$

誒，這不就是卡特蘭數嗎。

卡特蘭數應用

1、出棧次序：一個棧（無窮大）的進棧次序爲1、2、3……n。不同的出棧次序有幾種。
我們可以這樣想，假設k是最後一個出棧的數。比k早進棧且早出棧的有k-1個數，一共有h(k-1)種方案。比k晚進棧且早出棧的有n-k個數，一共有h(n-k)種方案。所以一共有h(k-1)*h(n-k)種方案。顯而易見，k取不同值時，產生的出棧序列是相互獨立的，所以結果可以累加。k的取值範圍爲1至n，所以結果就爲h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2) + … + h(n-1)h(0)。
出棧入棧問題有許多的變種，比如n個人拿5元、n個人拿10元買物品，物品5元，老闆沒零錢。問有幾種排隊方式。熟悉棧的同學很容易就能把這個問題轉換爲棧。值得注意的是，由於每個拿5元的人排隊的次序不是固定的，所以最後求得的答案要n!。拿10元的人同理，所以還要n!。所以這種變種的最後答案爲h(n)*n!*n!。

 2、二叉樹構成問題。有n個結點，問總共能構成幾種不同的二叉樹。
        我們可以假設，如果採用中序遍歷的話，根結點第k個被訪問到，則根結點的左子樹有k-1個點、根結點的右指數有n-k個點。k的取值範圍爲1到n。講到這裏就很明顯看得出是卡特蘭數了。這道題出現在2015年騰訊實習生的在線筆試題中。有參加過的同學想必都有印象。

 3、凸多邊形的三角形劃分。一個凸的n邊形，用直線連接他的兩個頂點使之分成多個三角形，每條直線不能相交，問一共有多少種劃分方案。
         這也是非常經典的一道題。我們可以這樣來看，選擇一個基邊，顯然這是多邊形劃分完之後某個三角形的一條邊。圖中我們假設基邊是p1pn，我們就可以用p1、pn和另外一個點假設爲pi做一個三角形，並將多邊形分成三部分，除了中間的三角形之外，一邊是i邊形，另一邊是n-i+1邊形。i的取值範圍是2到n-1。所以本題的解c(n)=c(2)*c(n-1)+c(3)*c(n-2)+...c(n-1)*c(2)。令t(i)=c(i+2)。則t(i)=t(0)*t(i-1)+t(1)*t(i-2)...+t(i-1)*t(0)。很明顯，這就是一個卡特蘭數了。
        
    4、其他。諸如括號匹配問題、01序列問題、n邊形格子從左下角走到右上角不跨過對角線問題。這些都是卡特蘭數，其他問題也基本上是上面問題的變種。證明過程就不再贅述了。

兩類斯特林數

第一類斯特林數

意義：$\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}$表示$n$元素分成$m$個環的方案數
$\begin{bmatrix}n\\m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}+(n-1) * \begin{bmatrix} n-1\\m \end{bmatrix}$
理解：考慮從$n−1$個元素推過來，如果兩個空環肯定是不符合的空一個環則單獨成環，如果$n−1$的時候就沒有空環就任意放在一個元素前
性質$n! = \sum\limits_{i = 0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}$
##第二類斯特林數
$\begin{Bmatrix} n\\m\end{Bmatrix}$表示$n$個有區別的小球丟進$m$個無區別的盒子的方案數。
計算：
$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+m*\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}$
性質
$m^n=\sum\limits_{i=0}^{m}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}*i!*C(m,i)$
反正我覺得聯賽也考不到這玩意，既然L喊看一下就瞭解一下吧。
#注意
附上幾組卡特蘭數方便考試的時候快速反應過來
$f(1) = 1$
$f(2) = 2$
$f(3) = 5$
$f(4) = 14$
$f(5) = 42$
$f(6) = 132$