简洁明了的搞清楚四元数和旋转矩阵的关系及使用

1 混淆的哪里？

关于四元数和旋转矩阵，使用过程中很容易迷糊，很重要的原因是没有区分好『座标系的旋转』和『向量的旋转』。

不想看详细的说明过程可以直接看总结部分。

2 两种旋转

下面首先来区分这两种旋转。以一个飞机为例，假设惯性系为N(XYZ)系（下图中的黑色座标系），B系(X’Y’Z’)与飞机固连（下图中的蓝色座标系）。t0时刻，飞机的B系与N系完全重合。

座标系的旋转： N系的XYZ旋转到B系的X’Y’Z’，对应的四元数为q，V并没随着B系的转动而转动，如上图所示。座标系旋转后，有1个信息是我们想知道的：

• V向量在B系中的座标是多少？（第一个问题）

向量的旋转： R向量从初始位置旋转到了R’的位置，对应的四元数为q，如下图所示。

向量旋转后，同样有1个信息是我们想知道的：

• R’向量在N系中新的座标是多少？（第二个问题）

从上面可以看出，旋转可以指座标系的旋转，也可以指向量的旋转，他们代表的含义是完全不同的，所以当谈到旋转时，一定要搞清楚这个前提条件：究竟是『谁』被旋转了。

2.1 回答第一个问题

• V向量在B系中的座标是多少？
  V向量在空间中的位置并没有变，只是它在B系中有另一个座标表示方法。

V’ = q^-1 * V * q

上式中，由于四元数quaternion并不能与vector直接运算，需要把V转换为纯四元，即实部为0的四元数。如果使用eigen来实现，有几种的不同的方法，但是最终的结果都是一样的。

// 场景一：N系中的向量Vn_in_N在B系表示
    float angle = 30 * (3.1415926 / 180.f);
    Vector3f Vn_in_N = { 0, 0, 1 };
    Quaternionf q(AngleAxisf(angle, Vector3f::UnitX()));

    // 方法1：
    Vector3f Vn_in_B = (q.conjugate() * Quaternionf(0, Vn_in_N.x(), Vn_in_N.y(), Vn_in_N.z()) * q).vec();
    cout << "Vn_in_B = " << Vn_in_B << endl;
    cout << endl;

    // 方法2：
    Vn_in_B = q.matrix().transpose() * Vn_in_N; // q.matrix()为Cbn,b系到n系的座标变换矩阵
    cout << "Vn_in_B = " << Vn_in_B << endl;
    cout << endl;

    // 方法3：Eigen中对 * 进行了运算符重载，本质上与方法2是相同的
    Vn_in_B = q.conjugate() * Vn_in_N;
    cout << "Vn_in_B = " << Vn_in_B << endl;
    cout << endl;

如果B系中有已知的向量V₂’，那么它在N系中的表示V2为：
V₂ = q * V₂’ * q^-1
使用eigen实现的代码就不赘述了。

2.2 回答第二个问题

• R向量被旋转后，它在空间中的位置发生了变化，有一个新的座标R’
  R’ = q * R * q^-1

有一点值得注意的是，很多场合把q转换为旋转矩阵C_bⁿ(b–>n)，这里的C_bⁿ指的是把B系中已知的向量Vb在N系中的座标是多少V_n，即：
V_n = C_bⁿ * V_b

上面代码中的 q.matrix() 就是C_bⁿ。

3 总结

以下的结论务必记住。

如果一个向量 V 固定，座标系旋转按照四元数 q 进行了旋转，得到了一个新座标系，则该向量分别在新旧座标系中投影表达式间的关系可以表示为：
V’ = q^-1 * V * q

如果一个座标系固定, 一个向量 V按照四元数 q 相对该座标系进行了转动，得到一个新的向量 V’，则新旧向量之间的关系为：
V’ = q * V * q^-1