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凱利公式：f=（bp-q）/b，也即=p-q/b，（p爲勝率，q爲賠率，b爲賠率）
關於凱利公式的應用必要條件以及應用場景，我通過問答來逐步論證：
（以下投資的倉位分析中假設不載考慮市場屬性的問題，因爲該投資下注已經考慮過了市場屬性的問題）
A.因爲凱利公式是有“順序”，這個“順序”的意思是：如果這一次下注本金的20%而且虧了，那麼下一次下注的比例是下一次本金的20%，這樣的話賭徒的本金永遠都虧不完；也就是說只有等這一局的結果出來後，才能進行下一句的下注；
B.因爲A的情況下，我們理所當然的會想到凱利公式在短期交易（幾天）和長期投資（1年及其以上）中的應用的不同（因爲資金的時間成本是不同的），繼續按照這個邏輯往下：
1.在短線交易上，因爲時間週期短，資金的時間成本會變得很低，模式上更加類似於（加紅爲後面做鋪墊）凱利公式的應用場景，比如：先下一局，結果兩天就出來了，然後按照下一次的資金規模算出來f，繼續下注，也就是類似於“永遠虧不完的狀態”；
2.對於長期來說，就會發現漏洞百出。
來舉幾個例子：
A.有一個把勝率p=50%，賠率爲3的長期投資機會，按照凱利的計算則下注比例爲33%，那麼剩下的66%的資金都被閒置了，有違投資基本常識；（這是時間成本方面的疑問，爲以下做鋪墊）
B.當有一個勝率p=80%，賠率爲1的長期投資機會，那麼按照凱利公式的計算則倉位比例爲60%；
當有一個勝率p=80%，賠率爲2的長期投資機會，那麼按照凱利公式的計算則倉位比例爲70%；
當有一個勝率p=80%，賠率爲10的長期投資機會，那麼按照凱利公式的計算則倉位比例爲78%；
尤其是B中的第二個和第三個“嚴重”違背投資常識，假如一個賠率=+300%/30%，即贏了的時候是賺取300%，虧損的時候是-30%，那面對這樣的長期投資機會的話，最優的選擇應該是all in。想想一下一個投資機會b=2，虧的時候是30%，賺的時候是60%；投資機會b=10，虧的時候是30%，賺的時候是300%，但倉位僅僅增加了8%，這是不可思議的事情。
爲什麼凱利公式失效了，原因在於我“放寬”凱利的假設條件，即賠率的隱含意思是，如果虧的話，必須要虧完。
這個B的例子我們會注意到，雖然是長期投資，但是推翻凱利公式在長期投資的論據不在時間長短上，而是在如果虧的話，必須要虧完這個假設上。
那麼這個邏輯同樣可以應用到短線交易上，邏輯參考B即可。
所以凱利公式成立的條件就們明顯了：
1.如果判斷失敗了，那你下的注必須要虧完；
2.時間成本要低，投資結果要很快出來；
可以得出初步結論：1.對於中長期投資來說，凱利公式沒有參考意義；
2.對於短期投資來說，凱利公式沒有參考意義（爲下面做鋪墊）；
3.對於期貨短期交易來說，有一定的參考意義；
4.對於外匯投機來說，非常有意義；
5.對於撲克牌和各種賭博來說，非常有意義。
關於第二條我有一個聯想：假如投資人有100萬，那麼他是明顯不滿足要虧就虧完的情況的，這時候我們可能會聯想到融資加槓桿，但是一般槓桿不夠；但是如果換一種角度，這100萬資金看成90萬的劣後級、以及10萬的優先級就可以應用凱利公式了，假設一個投資機會賠率是3=30%/10%（也就是300%或者爆倉），在滿足凱利公式的條件下，投資人的勝率如果爲p=50%，則下注比例應該爲33%，也就是下注33萬；如果賠率爲2，那麼下注比例爲25%。
注意標紅的文字，一般來說p=50%，賠率爲2=20%/10%，一般短線投資人不敢下這麼大的倉位。也即是說隱含的資金成本較大。
二、談論二
那麼短期交易和中長期投資關注的重點到底是什麼呢？
我先關注中長期投資，而後在逐漸過渡到短期交易。
假設一個長期投資機會X（一年期限），勝率50%，賠率爲b=2=10%/5%的400萬的一個投資機會。
那麼這個投資的期望值是410，結果爲兩種440/380，概率分別爲50%、50%。
假設有四個相互獨立的X的投資機會，這個投資組合成爲Y，平均投資下注，則投資結果的的分佈如下：
資產
440
425
410
395
380
概率
6.25%
25%
37.5%
25%
6.25%
那麼這個投資組合的期望值是也是410，但是方差要比X小很多。
在這個基礎上，我引入一個概念：概率敏度函數，這個例子的概率密度函數是二項分佈，X例子是極端情況，Y例子是相對分散的情況，分散成100個就成了這種了：
之所以取正態分佈是因爲，二項分佈的極限是正太分佈。
換成人話來解釋就是，每一年投資個X，和每一年投一個Y（也就是相互獨立的4個X），長期來看兩者是基本一致的，X的結果和方差會無線逼近於長期的Y的分佈，而Y的分佈則無線逼近於正太分佈。
有幾個初步的結論：
一個術語的解釋：Q：很看好(高勝率、高賠率)；W:次很看好（高勝率、中賠率）、E:一般看好（高概率、低賠率），注意沒有R:低勝率、高賠率的情況。
1.如果不怕收益率方差大（也就是收益率波動大），而且手裏只有一隻Q的股票的話，那就應該把所有的倉位放進Q股票中。（投資失敗的話即預計事項落空的話，股票不會退市，或者不會跌成基本上等同於退市的情況，比如跌個80%、或者90%）；
2.如果有幾隻Q的話（相互獨立事件，同下），那最優的倉位比例是平均分。因爲長期來看類似X和Y之間沒有差別，短期X承受了高波動率但是沒有高期望值，在這種情況下，單單投資X是奇怪的；
3.如果有幾隻Q和幾隻W的股票的話，那具體的倉位比例就要看基金經理在於其收益率和方差（收益波動率）之前的平衡和妥協了。
前面短期交易（在此假設5天可以出結果）在藍色字體看待角度的情況下，我們換一個角度按照談論二來看待短期交易，
還是藍冊字體討論的例子p=50%，賠率爲2=20%/10%，如果只有一個滿足這個情況，那應該滿倉一隻，如果有兩個那應該滿倉、並平均持倉；如果有三隻那應該滿倉、並平均持倉，所以如果有N個，就應該滿倉，並平均持倉。
那麼藍色字體和當前的判斷分歧點在哪呢？考慮到5天的交易週期，兩者的看待的差異應該是資金成本和資金利用率帶來的差異，具體的詳細原因我在思考下，現在寫這麼多吧，先發出來。
那麼藍色字體和當前的判斷分歧點在哪呢？考慮到5天的交易週期，兩者的看待的差異應該是資金成本和資金利用率帶來的差異，具體的詳細原因我在思考下，現在寫這麼多吧，先發出來。
接着上次的問題繼續往下，我重申下凱利公式成立的兩個條件：
1.虧得話，必須要虧完（或者基本上等同於虧完）；
2.時間週期要非常短。
先看第一個條件，如果有100萬的自有資金，假設分成90的優先級和10萬的劣後級，
則槓桿率爲10倍；相對於自有資金100萬，配置900萬的槓桿的情況下來說，爲了滿足凱利公式其“有效規模”僅爲後者的1/10。因爲不滿足“條件”，這個結果好像步伐進行參考。
優秀的交易員的勝率一般在0.4左右，即意味着賠率不在1.5以上不應該出手。
當然也可以調整成5倍的槓桿，即虧損20%虧完現有倉位，承受20%的短線風險不像是短期交易的風格，不討論了。而且在南京交易所情況下，沒有理由能找到跌20%，後來還能起來30%以上的原因。
既然條件一和條件二怎麼樣都繞不過去，那麼換個角度來試試。
我嘗試用中長期投資邏輯來理順下，如果有一個100萬的投資機會，勝率0.4，賠率爲2=20%/10%。承接上次的中長期投資中，關於相互獨立的投資機會X，其投資組合的收益率服從二項分佈，極限服從正態分佈的情況。中長期（假設爲1年）應該投資越多越好的X，只要X的質量是足夠優秀的（這裏假設是的），在這裏我假設一共投資了54個相互獨立的X，而且一年後到期。
短線交易上，如果我們把交易期限分成54周，假設每一週都有一個Y（Y勝率0.4，賠率爲2=20%/10%）的短線交易，而且結果能在一週之內就可以出來，這樣的話一箇中長期投資的54個X和短期的連續的54個Y產生的結果是一樣的。
54個交易機會，意味着每次大約2%的倉位。如果是4%的倉位，那就意味總預期收益翻倍，而且注意方差並沒有很大的變化，一下進行非數學論證：
每次4%的倉位，也就是說前25次就用一圈本金。我們假設前25次全部都是虧損，則第26次本金還剩餘90萬，在不相互佔用資金的情況下，可以用到第23次。考慮到可以佔用自己資金的情況，4%的倉位是可以接收到。
兩個例子基本可以看到，其本質上也是在“翻倍”預期收益率（翻倍每次的倉位）和方差之間做一個平衡，即出現最惡劣的情況下，不會沒有“翻身”機會。
因爲一旦使用2%以上的資金時候，其和中長期的情況就不同了，相互之間沒有參考意義的，下面單獨列出來討論。
預期收益率和方差的平衡（一個週期考慮）
假設了每次4%的倉位，翻倍至8%倉位，用10%更方便。這個時候資金的“利用率”是本金的5倍，預期收益率也是之前的5倍。假如連續虧損10次，屆時本金爲90萬，該事件發生概率爲0.6%；（折算後：年化收益率爲25%）
假設每次用20%倉位，這個時候資金的“利用率”是本金的10倍；連續虧損5次的概率爲7.8%；（折算後：年化收益率爲50%）
假設每次用33%倉位，這個時候資金的“利用率”是本金的17倍；連續虧損3次的概率爲22%；（折算後：年化收益率爲85%）
假設每次用50%倉位，這個時候資金的“利用率”是本金的25倍；連續虧損2次的概率爲36%；（折算後：年化收益率爲125%）
假設每次用100%倉位，這個時候資金的“利用率”是本金的50倍；連續虧損1次的概率爲60%；（折算後：年化收益率爲250%）
結合方差的情況和折算後年化收益率的情況，我覺得10%-20%的倉位是相對合理的，20% 的倉位相對激進，方差並不是很大，但是折算後的收益率太不靠譜了，很難達到這麼高——85%。
我以倉位爲33%爲例子，如果一週有一個機會也可用於33%的倉位下注，那麼這個機會可以用三個相同的機會但是隻有11%的倉位來代替，這樣如果每一週有一次以上的交易機會的話，那麼這樣“33%”倉位的機會是更加有效的選擇。
綜述：倉位是結合合理的收益率預期（我選擇的是10%-20%），加上交易機會的次數（我假設的是每週的機會，並在倒數第二段討論了一週三次的情況），再結合投資人風險偏好（即對於方差大小的接受程度），最後一個個性化的結果。
轉載自網絡
Kelly criterion （凱利準則）是gaming/investment theory當中一個很著名的公式，主要用來在賭博和投資中確定最優的下注/投資額，最初用於21點，輪盤等賭博遊戲，很長時期以來，也被巴菲特等著名投資家在股票投資等領域使用。他的基本公式這樣：
f = （bp-q）/b
其中，f 是應該用自己多大比例的資金去下注/投資，b 是池底比/投資回報比，p是贏錢概率，q是輸錢概率，也就是q=1-p;
一個例子是：如果一個賭徒有60%的機會去贏一個遊戲，也就是P=0.6， q = 0.4， 這個遊戲的池底比是1：1，也就是買一贏一，那麼此賭徒每次就應拿 f = (1*0.6-0.4)/1, 也就是自己[size=6][color=Red]20%[/color][/size]的資本去下注，從長期來說，這個就是最佳的贏利點。非常激進的投資法，但是凱利在數學上面已經證明了這裏最優。
但是，如果這個賭徒在這個遊戲當中沒有優勢，也就是所謂沒有edge，即b《= q/p, 那麼f就是零或負數，那麼這個賭徒就不應該在這個遊戲當中投資任何錢。
推廣到撲克，
大多數人會選擇穩定，而不是風險，特別是需要養家餬口的reg。但是凱利規則告訴我們，如果我們對自己的edge有很清楚的認識，那麼在edge大的遊戲當中，我們就可以拿更大比例的bankroll去冒險，在edge小的遊戲當中，我們就應該相對保守。這裏的前提是你可以在下風期不斷降低自己的遊戲層次，使自己始終可以保持在edge和資金之間的平衡。
回到之前那個例子，在自己有edge的時候，b =1，p=0.6，那麼就可以拿自己20%的BR來到高桌來追魚，在現實的情況中，有的時候凱利指數甚至會更高，那些天才少年看上去很激進的資金管理方式，其實在這裏得到了支持。一將功成萬骨枯，除了極個別情況（老爺爺屬於極個別，呵呵），很少有職業選手從來沒有破產或者接近破產來追求更高的回報，這其實就是穩定vs回報的經典課題。
從我的認識來說，想真正順着凱利準則往撲克世界的最高峯進軍，你最少要做到以下幾點：
1. 走技術流的路線，始終致力於提高自己的技術，增加自己的edge，沒有edge，你就應該退出這個遊戲
2. 有隨時降級的心理準備
3. 生活資金和撲克資金應該分開，這樣你才能更坦然的去拿撲克資金去冒險。
4. 儘量分擔風險，比如在流鼻血級別，互相take action其實是非常常見的。
一定要用可以改一下
本人修改的保守倉位（僅供參考）：單筆風險 = (勝率-敗率/盈虧比)*0.05
勝率和盈虧比都是長期實盤的兩個大概值，0.05是安全係數，防止勝率或盈虧比的長期偏離帶來的硬性風險。
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