導數應用之函數單調性
- 通過函數的導數的值,可以判斷出函數的單調性、駐點、極值點
- 若導數>0,則單調遞增
- 若導數<0,則單調遞減
- 若導數=0,則該點爲函數的駐點
- 如果函數的導函數在某一個區間內恆大於零(或恆小於零),那麼函數在這一區間內單調遞增(或單調遞減),這一區間就稱爲單調區間
- 函數的駐點和不可導點函數有可能取得極大值或極小值(極值可疑點)
- 對於極值點的判斷需要判斷駐點附近的導函數的值符號,如果存在使得之前區間上導函數值都大於零,而之後的區間上都小於零,那麼這個點就是一個極大值點,反之則是一個極小值點
導數應用之曲線的凹凸性
- 設函數f(x)在區間I上連續,∀x1,x2∈I,
- (1)若恆有f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2),則稱f(x)的圖形是凹的
- (2)若恆有f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2),則稱f(x)的圖形是凸的
- (3)連續曲線上的凹弧與凸弧的分界點稱爲曲線的拐點(在這一點上二階導數不存在或異號(由正變負或由負變正))
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定理(凹凸判定法)
- 設函數f(x)在區間I上有二階導數
- (1) 在I內f′′(x)>0, 則f(x)在I內圖像是凹的
- (2) 在I內f′′(x)<0, 則f(x)在I內圖像是凸的
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導數應用之函數的極值與最值
1 ) 函數的極值及其求法
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- 極大值:設函數f(x)在x0的某個鄰域U(x0,δ)有定義,且當x∈U˚(x0,δ)時, 恆有f(x)<f(x0),則稱f(x0)爲f(x)的一個極大值
- 極小值:如果當x∈U˚(x0,δ)時,恆有f(x)>f(x0), 則稱f(x0)爲f(x)的一個極小值
- 極值:是局部區間的概念,函數的極大值與極小值統稱爲極值,使函數取得極值的點稱爲極值點
- 最值:是全局區間的概念
- 若f(x)在極值點x0處可導, 則f′(x0)=0導數等於零的點稱爲駐點
- 對可導函數來講,極值點必爲駐點,駐點不一定是極值點,如下圖原點是駐點,但不是極值點
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極值存在的第一充分條件
- 設函數f(x)在x0處連續,且在x0的某去心鄰域x∈U˚(x0,δ)內可導
- (1)若當x∈(x0−δ,x0)時,f′(x)>0, 若當x∈(x0,x0+δ)時, f′(x)<0, 則f(x)在x0處取得極大值
- (2)若當x∈(x0−δ,x0)時,f′(x)<0, 若當x∈(x0,x0+δ)時, f′(x)>0, 則f(x)在x0處取得極小值
- (3)若當x∈U˚(x0,δ)時,f′(x)符號保持不變, 則f(x)在x0處無極值
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例子1
- 函數y=x3這個函數在(0,0)處是否爲極值點
- 求一階導數:y′=3x2
- 當x = 0時, y′=0
- 當x < 0時, y′>0
- 當x > 0時, y′>0
- 所以不是極值點而是駐點
例子2
- 求f(x)=(x−1)x32的極值
- 可見x∈R 連續
- 求極值可疑點
- f′(x)=0
- f′(x) 不存在
- f′(x)=3x2+(x−1)∗32∗x−31=3x2+32(x−1)3x1=353xx−52
- 若f′(x)=0 ⇒x=52 爲駐點
- 若f′(x) 不存在, 則 x=0
- 所以,目前極值可疑點有兩個點,52和0, 需要分類討論,也就是分區間討論
- 當x<0時, f′(x)>0
- 當0<x<52時, f′(x)<0
- 當x>52時, f′(x)>0
- 可見,這兩點都是極值點,且0是極大值點,52是極小值點