[ACM]【歐拉函數】POJ 2478 Farey Sequence

Farey Sequence

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題意：

寫在前面

繼續補1月份的題，才發現這道題這麼簡單，果然當時的我太菜了。（當然現在的我也很菜…。）

思路

看到$0<a<b<=n(gcd(a,b)==1)$，我們仔細觀察，會發現，答案就是歐拉函數的前綴和。爲什麼呢？發現F4比起F3，不就是多出來了，有關於4的，從1到4數的，gcd=1的個數嗎？再看看歐拉函數的定義，小於等於n與n互質的個數。

求歐拉函數的前綴和，我會的有三種方法：
（1）線性篩出歐拉函數，老老實實O(n)求前綴和（這可能也是這道題的標準作法，因爲這道題就是道水題）。
（2）杜教篩
（3）通過莫比烏斯反演來求，要藉助莫比烏斯函數，所以已經求出了莫比烏斯函數前綴和時這樣做最快。時間複雜度$O(n^{\frac{2}{3}})$。

線性篩

首先我們回憶一下線性篩模板：
原理：每個合數都被其最小質因子篩去。

void init(){
	for(int i=2;i<maxn;i++){
		if(!vis[i]) pri[cnt++]=i;
		for(int j=0;j<cnt&&1ll*i*pri[j]<maxn;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			//break是因爲這個i被pri[j]與之前的某個i篩過了
			//如果i再與其他質數相乘
			//得到的值早就被這個pri[j]篩過
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}

求歐拉函數的線性篩：
原理：
直接套定義：$\varphi(n)=n\times \prod_{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}$。每個數一開始爲n，後來被其因子更新。

void get_phi(int n) {
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(!phi[i])
			for(int j=i;j<=n;j+=i) {
        		if(!phi[j]) phi[j]=j;
        		phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
      		}
}

同時求質數的線性篩：
原理：
設$p_1$是$n$的最小質因子，$n'=\frac{n}{p_1}$，線性篩的過程中，$n$被$p_1$篩掉。按照歐拉篩（線性篩）的套路，我們會面對兩種情況：$n'\mod p_1\neq0$和$n'\mod p_1= 0$。

性質1：
如果$n'\mod p_1\neq0$，此時$n'$與$p_1$互質，那麼$\varphi(n)=\varphi(n')\times \varphi(p_1)$（積性函數）

性質2：
如果$n'\mod p_1= 0$，此時$n'$包含了$n$的所有因子，所以$\varphi(n)=n\times \prod_{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}$
即$\varphi(n)=p_1\times n'\times \prod_{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}$
就等價於（因爲注意後面的fraction不考慮質因子的冪次）
$\varphi(n)=p_1\times \varphi(n')$

void init(){
	for(int i=2;i<maxn;i++){
		if(!vis[i]){
			phi[i]=i-1;
			pri[cnt++]=i;
		}
		for(int j=0;j<cnt&&1ll*pri[j]*i<maxn;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j])
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//性質1 
			else {
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//性質2 
				break;
			}
		}
	}
}

好了，那我們就選擇定義求歐拉函數的線性篩法來做題。

代碼：

#include<stdio.h>
typedef long long ll;
ll phi[1000005],sum[1000005];
void get_phi(ll n) {
	phi[1]=0;
	for(ll i=2;i<=n;i++)
		if(!phi[i])
			for(ll j=i;j<=n;j+=i) {
        		if(!phi[j]) phi[j]=j;
        		phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
      		}
}
int main(){
	get_phi(1000000);
	for(ll i=1;i<=1000000;i++){
		sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
	}
	ll n;
	while(~scanf("%lld",&n)&&n){
		printf("%lld\n",sum[n]);
	}
}

杜教篩

求$S(i)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$。
根據Dirichlet卷積：$(f\ast g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$。
我們有，$\varphi\ast 1=ID$（$ID$函數即$f(x)=x$）（證明見下）
（ATTENTION：先坑了抱歉，期末複習了）

莫比烏斯反演

知識傳送門
由文字定義可知，歐拉函數就是$\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)==1]$，那麼歐拉函數的前綴和其實就是$\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n[gcd(a,b)==1]$。（前綴和嘛，外面多累加一次）。由莫比烏斯函數的性質，我們得到$\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{d|gcd(a,b)}\mu(d)$。
我們稍作變換，得到$\sum_{d=1}^n\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor^2$。

涉及知識

歐拉函數

定義

性質

$\varphi\ast 1=ID$

單個求值（定義）

線性篩

見上。

前綴和

見上。