[ACM]【欧拉函数】POJ 2478 Farey Sequence

Farey Sequence

传送门
题意：

写在前面

继续补1月份的题，才发现这道题这么简单，果然当时的我太菜了。（当然现在的我也很菜…。）

思路

看到$0<a<b<=n(gcd(a,b)==1)$，我们仔细观察，会发现，答案就是欧拉函数的前缀和。为什么呢？发现F4比起F3，不就是多出来了，有关于4的，从1到4数的，gcd=1的个数吗？再看看欧拉函数的定义，小于等于n与n互质的个数。

求欧拉函数的前缀和，我会的有三种方法：
（1）线性筛出欧拉函数，老老实实O(n)求前缀和（这可能也是这道题的标准作法，因为这道题就是道水题）。
（2）杜教筛
（3）通过莫比乌斯反演来求，要借助莫比乌斯函数，所以已经求出了莫比乌斯函数前缀和时这样做最快。时间复杂度$O(n^{\frac{2}{3}})$。

线性筛

首先我们回忆一下线性筛模板：
原理：每个合数都被其最小质因子筛去。

void init(){
	for(int i=2;i<maxn;i++){
		if(!vis[i]) pri[cnt++]=i;
		for(int j=0;j<cnt&&1ll*i*pri[j]<maxn;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			//break是因为这个i被pri[j]与之前的某个i筛过了
			//如果i再与其他质数相乘
			//得到的值早就被这个pri[j]筛过
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}

求欧拉函数的线性筛：
原理：
直接套定义：$\varphi(n)=n\times \prod_{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}$。每个数一开始为n，后来被其因子更新。

void get_phi(int n) {
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(!phi[i])
			for(int j=i;j<=n;j+=i) {
        		if(!phi[j]) phi[j]=j;
        		phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
      		}
}

同时求质数的线性筛：
原理：
设$p_1$是$n$的最小质因子，$n'=\frac{n}{p_1}$，线性筛的过程中，$n$被$p_1$筛掉。按照欧拉筛（线性筛）的套路，我们会面对两种情况：$n'\mod p_1\neq0$和$n'\mod p_1= 0$。

性质1：
如果$n'\mod p_1\neq0$，此时$n'$与$p_1$互质，那么$\varphi(n)=\varphi(n')\times \varphi(p_1)$（积性函数）

性质2：
如果$n'\mod p_1= 0$，此时$n'$包含了$n$的所有因子，所以$\varphi(n)=n\times \prod_{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}$
即$\varphi(n)=p_1\times n'\times \prod_{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}$
就等价于（因为注意后面的fraction不考虑质因子的幂次）
$\varphi(n)=p_1\times \varphi(n')$

void init(){
	for(int i=2;i<maxn;i++){
		if(!vis[i]){
			phi[i]=i-1;
			pri[cnt++]=i;
		}
		for(int j=0;j<cnt&&1ll*pri[j]*i<maxn;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j])
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//性质1 
			else {
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//性质2 
				break;
			}
		}
	}
}

好了，那我们就选择定义求欧拉函数的线性筛法来做题。

代码：

#include<stdio.h>
typedef long long ll;
ll phi[1000005],sum[1000005];
void get_phi(ll n) {
	phi[1]=0;
	for(ll i=2;i<=n;i++)
		if(!phi[i])
			for(ll j=i;j<=n;j+=i) {
        		if(!phi[j]) phi[j]=j;
        		phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
      		}
}
int main(){
	get_phi(1000000);
	for(ll i=1;i<=1000000;i++){
		sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
	}
	ll n;
	while(~scanf("%lld",&n)&&n){
		printf("%lld\n",sum[n]);
	}
}

杜教筛

求$S(i)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$。
根据Dirichlet卷积：$(f\ast g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$。
我们有，$\varphi\ast 1=ID$（$ID$函数即$f(x)=x$）（证明见下）
（ATTENTION：先坑了抱歉，期末复习了）

莫比乌斯反演

知识传送门
由文字定义可知，欧拉函数就是$\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)==1]$，那么欧拉函数的前缀和其实就是$\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n[gcd(a,b)==1]$。（前缀和嘛，外面多累加一次）。由莫比乌斯函数的性质，我们得到$\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{d|gcd(a,b)}\mu(d)$。
我们稍作变换，得到$\sum_{d=1}^n\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor^2$。

涉及知识

欧拉函数

定义

性质

$\varphi\ast 1=ID$

单个求值（定义）

线性筛

见上。

前缀和

见上。