了解拉普拉斯算子

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1. Laplace算子的定义

       直奔主题：Laplace算子被定义为函数梯度的散度，即：
       
       在图像处理，我们知道经常把Laplace算子作为边缘检测之一，也是工程数学中常用的一种积分变换。

• 梯度：
  假设在空间座标系下，那么一个函数 f(x,y,z) 在点 (x₀ , y₀ ,z₀) 处的梯度定义如下：
   
                                     $\bigtriangledown f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})|_{x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0}}$
   
  于是梯度函数：$\bigtriangledown f=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot \vec{k}$
   
• 散度：
  假设在空间座标系下，若函数 $F(x,y,x)=F_{x}\cdot \vec{i}+F_{y}\cdot \vec{j}+F_{z}\cdot \vec{k}$ ，那么其散度定义如下：
   
                                     $div\ F=\bigtriangledown \cdot F=\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}$
   
• Laplace算子：
                

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2. 转换成离散形式

       在图像处理领域，由于图像有ｘ和ｙ两个方向，且是离散分布的，需要将Laplace算子方程表示为其在ｘ,ｙ两个方向的离散形式：

• 离散一阶微分方程： $\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x)$
• 离散二阶微分方程： $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)$
• Laplace算子离散方程：
         
  转换成卷积核表示如下：