AI筆記: 數學基礎之多元函數的概念和極限

多元函數

1 ） 概念

• 設D爲一個非空的n 元有序數組的集合，f爲某一確定的對應規則。
• 若對於每一個有序數組 ( x1,x2,…,xn)∈D，通過對應規則f，都有唯一確定的實數y與之對應，則稱對應規則f爲定義在D上的n元函數。
• 記爲y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 變量x1,x2,…,xn稱爲自變量，y稱爲因變量。
• 當n=1時，爲一元函數，記爲y=f(x),x∈D，當n=2時，爲二元函數，記爲z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函數統稱爲多元函數。

更好的理解，可以通過二元函數、三元函數的定義 作如下表述

• 設D是平面上的一個點集，如果對於每個點$P(x,y) \in D$
• 變量z按照一定的法則總有確定的值和它對應
• 則稱z是變量x,y的二元函數，記爲$z=f(x,y)$ (或 記爲 $z=f(P)$)
• 類似地可定義三元及以上函數
• 當$n \geq 2$時, n元函數統稱爲多元函數
• 多元函數中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念

2 ） 例子

• 圓柱體的體積：$V = \pi r^2 h, \ \ \ \{(r,h) | r > 0, h > 0\}$
• 定量理想氣體的壓強：$p = \frac{RT}{V} \ \ \ \{(V,T), | V > 0, T > T_0 \}$ (R爲常數)
• 三角形面積的海倫公式
  • $p = \frac{a + b + c}{2}$
  • $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \ \ \ \{ (a,b,c) | a > 0, b > 0, c > 0, a + b > c \}$

二元函數$z=f(x,y)$的圖形

• 設函數$z=f(x,y)$的定義域爲D, 對於任意取定的$P(x,y) \in D$, 對應的函數值爲 $z=f(x,y)$, 這樣，以x爲橫座標、y爲縱座標、z爲豎座標, 在這個三維空間就確定一點M(x,y,z)
• 取遍D上的一切點(x,y)時，的一個空間點集 $\{(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) \in D\}$, 這個點集稱爲二元函數的圖形
• 如下圖，二元函數的圖形通常是一張曲面

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性

例子

• (1) 二元函數$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$定義域爲圓域 $\{ (x,y) | x^2 + y^2 \leq 1 \}$, 圖形爲中心在原點的上半球面

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• (2) $z=sin(xy), (x,y) \in R^2$ 說明：二元函數 $z=f(x,y), (x,y) \in D$的圖形一般爲空間曲面$\Sigma$

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• (3) 三元函數 $u=arcsin(x^2 + y^2 + z^2)$ 定義域爲單位閉球體 $\{ (x,y,z), | x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \}$, 圖形爲四維空間中的超曲面

多元函數的極限

一元函數的極限

• 若$\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$
• 當點 $x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$時，$f(x) \in U(a, \varepsilon)$, 即 $|f(x) - a| < \varepsilon$
• 則稱 $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$

多元函數的極限

• 設二元函數$f(P)=f(x,y)$的定義域爲D, $P_0(x_0, y_0)$是其聚點.
• 如果存在常數A, $\forall \varepsilon > 0$, 總存在正數$\delta$
• 使得在$P_0$的空心$\delta$鄰域內的一切點P(x,y)都成立 $|f(P) - A| = |f(x,y) - A| < \varepsilon$
• 則稱常數A爲函數f(x,y) 當$(x,y) \to (x_0, y_0)$ 時的極限，記爲
• $\lim_{x \to x_0, y \to y_0} f(x,y) = A$ 或 $f(x,y)_{(x,y) \to (x_0, y_0)} \to A$, 也記作
• $\lim_{P \to P_0} f(P) = A$ 或 $f(P) \to A(P \to P_0)$
• 二元函數的極限也稱爲二重極限

例子

• 設$f(x,y) = (x^2 + y^2) sin \frac{1}{x^2 + y^2} \ \ \ (x^2 + y^2 \neq 0)$, 求證 $\lim_{x \to 0, y \to 0} f(x,y) = 0$
• 分析：
  • 因爲 $|(x^2 + y^2) sin \frac{1}{x^2 + y^2} - 0| \leq x^2 + y^2 < \varepsilon$
  • 所以 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta = \sqrt{\varepsilon}$, 當 $0 < \rho = \sqrt{x^2 + y^2} < \delta$時，
  • 總有 $|f(x,y) - 0| \leq x^2 + y^2 < \delta^2 = \varepsilon$
  • 故：$\lim_{x \to 0, y \to 0} f(x,y) = 0$