1.差分的概念

迄今爲止，我們所研究的變量基本上時屬於連續變化的類型，稱爲連續型變量。而在經濟管理的許多實際問題中，經濟變量的數據大多按等間隔時間週期統計，這些變量稱爲離散型變量。描述各離散變量之間的關係的數學模型稱爲離散型模型，在這盤博文中，主要爲大家介紹一下一種常見的離散型數學模型——差分方程。

可能大家對“差分方程”這個概念比較陌生，但是我們在之前的高等數學中一定都學過“微分方程”，這兩者的性值相近，但也有一定的區別。微分方程中的未知函數是連續型的、差分方程中的未知函數是離散型的，並且差分方程在經濟中的應用更加廣泛，比如：統計某經濟量、以天日爲單位的問題。

1.1 差分的概念

對於研究函數 y=f(t) 在 t 時刻的速度變化問題，我們可以分別用微分和差分來對其進行表示：

①微分：若函數 y=f(t) 爲連續函數，那麼在點 t 處的變化速度爲：👇👇👇（Δt 可以無限的趨近於0）

②差分：若函數 y=f(t) 爲離散函數，則在點 t 處的變化速度爲：👇👇👇（Δt 最小隻能爲1）

在差分中，Δt 取最小值也就是1的時候，所得到的結果就稱爲“差分”。

1.2 差分的定義

設 y=f(x) ，記爲 yx，其中 x（通常表示時間）的取值爲離散的等間隔整數值（x = 0，1，2，...），則 yx+1 - yx 稱爲函數 yx 在 x 處的差分，也稱一階差分，記爲：Δyx = yx+1 - yx（x = 0，1，2，...）

上面已經介紹完了“差分”的基本概念和定義，下面我們來看幾個求解函數的差分的小例子：👇👇👇

① yx = C；② yx = x³；③ yx = a^x

1. Δyx = yx+1 - yx = C - C = 0
2. Δyx = yx+1 - yx = (x+1)³ - x³ = 3x² + 3x + 1
3. Δyx = yx+1 - yx = a^(x+1) - a^x = a^x(a - 1)

對於第一題：常數的差分爲0
對於第二題：冪函數的差分次數降低1次
對於第三題：指數函數的差分是原指數函數的若干倍

1.3 差分的四則運算法則

1.4 高階差分

下面，我們來看一個求函數的高階差分的例題：👇👇👇

求 Δ（x²），Δ²（x²），Δ³（x²），題目的意思就是求函數 yx = x² 的一階差分、二階差分以及三階差分。

設 y = x²，則
Δyx = Δ(x²) = (x + 1)² - x² = 2x + 1
Δ²yx = Δ(Δyx) = Δ(2x + 1) = [2(x + 1) + 1] - (2x + 1) = 2
Δ³yx = Δ³(x²) = Δ(Δ²yx) = Δ(2) = 2 - 2 = 0

2.差分方程的概念

2.1 引例

已知電視機廠第 x 個月月初的庫存量爲 Rx，該月內生產、銷售的電視數量分別爲 m、n，則下月初的庫存量 Rx+1 是多少？對於這個問題，應該來說很簡單，下月初的庫存量就是上月庫存量 + 上月生產量 - 上月銷售量。

即 Rx+1 = Rx + m - n，而這個方程就是——差分方程！！！

2.2 兩種定義與階

對於上面這兩種對差分方程的定義，其實是不矛盾的，我們在後面的學習應用中，更多的是採用第二張圖的定義方法。

下面是兩道例題，第一道是判斷差分方程的題，第二道是確定差分方程的階，大家可以參考着理解一下：👇👇👇

2.3 解的定義

若將已知函數 y=φ(x) 代入差分方程，使得方程兩邊稱爲恆等式，則稱此函數是差分方程的解。

2.4 通解、特解與特注

①通解：含有獨立的任意常數，且常數個數與差分方程的階數相同，這樣的解稱爲差分方程的通解。

②特解：不含有任意常數的解稱爲特解（或在通解中，給出任意常數以確定的值而得到的解稱爲差分方程的特解）。

③差分方程的解有一個重要性質——時滯性：差分方程中自變量超前或滯後相同的時間間隔，而方程結構不變，則由此得到的新方程與原方程有相同的解，換句話說，新老方程爲同解方程。如下圖所示：👇👇👇