最大似然估计说的就是，如果事情发生了，那必然是概率最大的。
我们假设硬币有两面，一面是“花”，一面是“字”。
一般来说，我们都觉得硬币是公平的，也就是“花”和“字”出现的概率是差不多的。
如果我扔了100次硬币，100次出现的都是“花”。
在这样的事实下，我觉得似乎硬币的参数不是公平的。你硬要说是公平的，那就是侮辱我的智商。
这种通过事实，反过来猜测硬币的情况，就是似然。
而且，我觉得最有可能的硬币的情况是，两面都是“花”：

通过事实，推断出最有可能的硬币情况，就是最大似然估计。

1 概率vs似然

让我们先来比较下概率和似然。
为了避免和我们想讨论的概率混淆，我们把硬币的“花”出现的概率称为硬币的参数。

1.1 概率

已知硬币的参数，就可以去推测抛硬币的各种情况的可能性，这称为概率。
比如已知硬币是公平的，也就是硬币的参数为0.5。
那么我们就可以推测，扔10次硬币，出现5次“花”朝上的概率为（抛硬币遵循二项分布，这个就不多解释了）：

1.2 似然

正如开头所说，我们对硬币的参数并不清楚，要通过抛硬币的情况去推测硬币的参数，这称为似然。
可以再举不那么恰当（主要模型不好建立）的例子，蹭下热点。
比如我们发现，鹿晗和关晓彤戴同款手链，穿同款卫衣：
我们应该可以推测这两人关系的“参数”是“亲密”。
进一步发现，两人在同一个地方跨年：
似乎，关系的“参数”是“不简单”。
最后，关晓彤号称要把初吻留给男友，但是最近在荧幕中献出初吻，对象就是鹿晗：
我觉得最大的可能性，关系的“参数”是“在一起”。
通过证据，对两人的关系的“参数”进行推断，叫做似然，得到最可能的参数，叫做最大似然估计。

2 最大似然估计

来看看怎么进行最大似然估计。

2.1 具体的例子

我们实验的结果是，10次抛硬币，有6次是“花”。
所谓最大似然估计，就是假设硬币的参数，然后计算实验结果的概率是多少，概率越大的，那么这个假设的参数就越可能是真的。
我们先看看硬币是否是公平的，就用0.5作为硬币的参数，实验结果的概率为：

单独的一次计算没有什么意义，让我们继续往后面看。
再试试用0.6作为硬币的参数，实验结果的概率为：

之前说了，单次计算没有什么意义，但是两次计算进行比较就有意义了。
可以看到：

我们可以认为，0.6作为参数的可能性是0.5作为参数的可能性的1.2倍。

2.2 作图

我们设硬币的参数为 $\theta$ ，可以得到似然函数为：

这样我们就可以作图了：

我们可以从图中看出两点：

参数为0.6时，概率最大
参数为0.5、0.7也是有可能的，虽然可能性小一点

所以更准确的说，似然（现在可以说似然函数了）是推测参数的分布。
而求最大似然估计的问题，就变成了求似然函数的极值。在这里，极值出现在0.6。

2.3 更多的实验结果

如果实验结果是，投掷100次，出现了60次“花”呢？似然函数为：

用0.5作为硬币的参数，实验结果的概率为：

再试试用0.6作为硬币的参数，实验结果的概率为：

此时：

此时，0.6作为参数的可能性是0.5作为参数的可能性的8倍，新的实验结果更加支持0.6这个参数。
图像为：

很明显图像缩窄了，可以这么解读，可选的参数的分布更集中了。越多的实验结果，让参数越来越明确。

2.4 更复杂一些的最大似然估计

2.4.1 数学名词

下面提升一点难度，开始采用更多的数学名词了。先说一下数学名词：

一次实验：抛硬币10次，出现6次“花”，就是一次实验。
二项分布：抛硬币10次，出现6次“花”的概率为0.25，出现5次“花”的概率为0.21，所有的可能的结果（比如抛硬币10次，出现11次“花”，这就是不可能）的概率，放在一起就是二项分布

2.4.2 多次实验

之前的例子只做了一次实验。只做一次实验，没有必要算这么复杂，比如投掷100次，出现了60次“花”，我直接：

不就好了？最大似然估计真正的用途是针对多次实验。

2.4.3 上帝视角

为了说清楚这个问题，我引入一个上帝视角。
比如，我有如下的二项分布，\theta为出现“花”的概率（硬币抛10次）：

在实际生活中，\theta往往是不知道的，这里你可以看得到，就好像你是上帝一样。
要提醒大家注意的一点，上面的图像只有上帝才能看到的，包括：

二次分布的柱状图
二次分布的曲线图
$\theta$ 值为多少
我把只有上帝能看到的用虚线表示， $\theta$ 用淡一点的颜色表示：

2.4.4 通过多次实验进行最大似然估计

上面的二项分布用通俗点的话来说，就是描述了抛10次硬币的结果的概率，其中，“花”出现的概率为\theta。
根据上面的二项分布，我进行了6次实验（也就是总共6次，每次抛10次硬币），把实验结果用点的形式标记在图像上（从技术上讲，这6个点是根据二项分布随机得到的）：

这个实验结果，也就是图上的点，是我们“愚蠢的人类”可以看见的了。
可以看到，虽然进行了6次实验，但是却没有6个点，这是因为有的实验结果是一样的，就重合了。
为了方便观察，我把6个点的值用文字表示出来：

上图中的{4,5,5,2,7,4}就是6次实验的结果，分别表示：

第一次实验，4次出现“花”
第二次实验，5次出现“花”
第三次实验，5次出现“花”
以此类推
我们用 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 表示每次实验结果，因为每次实验都是独立的，所以似然函数可以写作（得到这个似然函数很简单，独立事件的联合概率，直接相乘就可以得到）：

表示在同一个参数下的实验结果，也可以认为是条件概率。
下面这幅图，分为两部分，上面除了实验结果外，都是上帝看到的，而下面是通过实验结果，利用似然函数对 $\theta$ 值的推断：