6719. 【2020.06.12省選模擬】T2 Module

題目

這題是交互題……
oj現在不支持交互題……
所以直接在這講講題目大意吧。
有個分數$\frac{x}{y}$，你可以詢問一個質數$P$，可以得到$\frac{x}{y}$在模$P$意義下的值。
最多可以詢問$5$次。
數字的範圍都在$[1,1e9]$
多組數據，數據最多$10^5$組。

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正解

只需要詢問兩個質數$P_1=1e9+7$和$P_2=1e9+9$，通過中國剩餘定理可以求出$\frac{x}{y}$在模$P_1P_2$意義下的值。
這時候$\frac{x}{y}$是唯一確定的。

證明考慮如果有$\frac{x_1}{y_1}$和$\frac{x_2}{y_2}$不相等但在模意義下相等，那麼$x_1y_2\equiv x_2y_1 \pmod {P_1P_2}$
由於$P_1P_2>1e18$，$x_1y_2,x_2y_1\leq1e18$，所以如果它們模意義下相等，那麼它們實際上也相等。
矛盾。

現在寫成這樣：$\frac{x}{y}=a \pmod P$
化一下就是$x=ay-kP$，兩邊除以$Py$就是$\frac{x}{Py}=\frac{a}{P}-\frac{k}{y}$
$x\leq 1e9$的解只有一個，具體怎樣理解可以結合上面的性質。
由於$Py$太大（大於$1e18$）了，趨近於$0$。於是我們要做的就是找到$\frac{k}{y}$，使其儘量逼近$\frac{a}{P}$。

題解做法：
在Stern-Brocot Tree上二分。
直接一個一個走可能會時間超限。發現拐點有$O(\lg 1e9)$個，於是走的過程中可以二分它往某個方向最多走多少步。

此外還有隔壁的爆標算法，推一波類歐。
具體是解這樣的不等式：$l \leq ax \mod p\leq r$，類歐推一下。