6719. 【2020.06.12省选模拟】T2 Module

题目

这题是交互题……
oj现在不支持交互题……
所以直接在这讲讲题目大意吧。
有个分数$\frac{x}{y}$，你可以询问一个质数$P$，可以得到$\frac{x}{y}$在模$P$意义下的值。
最多可以询问$5$次。
数字的范围都在$[1,1e9]$
多组数据，数据最多$10^5$组。

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正解

只需要询问两个质数$P_1=1e9+7$和$P_2=1e9+9$，通过中国剩余定理可以求出$\frac{x}{y}$在模$P_1P_2$意义下的值。
这时候$\frac{x}{y}$是唯一确定的。

证明考虑如果有$\frac{x_1}{y_1}$和$\frac{x_2}{y_2}$不相等但在模意义下相等，那么$x_1y_2\equiv x_2y_1 \pmod {P_1P_2}$
由于$P_1P_2>1e18$，$x_1y_2,x_2y_1\leq1e18$，所以如果它们模意义下相等，那么它们实际上也相等。
矛盾。

现在写成这样：$\frac{x}{y}=a \pmod P$
化一下就是$x=ay-kP$，两边除以$Py$就是$\frac{x}{Py}=\frac{a}{P}-\frac{k}{y}$
$x\leq 1e9$的解只有一个，具体怎样理解可以结合上面的性质。
由于$Py$太大（大于$1e18$）了，趋近于$0$。于是我们要做的就是找到$\frac{k}{y}$，使其尽量逼近$\frac{a}{P}$。

题解做法：
在Stern-Brocot Tree上二分。
直接一个一个走可能会时间超限。发现拐点有$O(\lg 1e9)$个，于是走的过程中可以二分它往某个方向最多走多少步。

此外还有隔壁的爆标算法，推一波类欧。
具体是解这样的不等式：$l \leq ax \mod p\leq r$，类欧推一下。