线性代数学习笔记（十一）——特殊矩阵

本篇笔记介绍了几种特殊矩阵，包括数量矩阵、对角型矩阵、三角型矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，需要注意的是这些特殊矩阵都是方阵。其中对称矩阵和反对称矩阵的两个结论比较重要，在做题时基本都会用到，需要记住。

1 数量矩阵

主对角线元素全都相等，其余元素全都为零的矩阵。
$\bcancel{\begin{bmatrix} a&0&{\cdots}&0\\ 0&a&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&a\\ \end{bmatrix}}$

很明显，数量矩阵将主对角线元素提到外面后，矩阵将变成一个单位阵，即矩阵：
$=aE$

因为$a$可以等于$0$或$1$，所以$O$和$E$都是特殊的数量矩阵。

数与数量矩阵相乘，以及数量矩阵之和、数量矩阵相减或数量矩阵相乘，仍然是数量矩阵。
$b\begin{bmatrix} a&0&{\cdots}&0\\ 0&a&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&a\\ \end{bmatrix}=abE$

$\begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2&0&{\cdots}&0\\ 0&2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&2\\ \end{bmatrix}=3E$

$\begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2&0&{\cdots}&0\\ 0&2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&2\\ \end{bmatrix}=-E$

$\begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&0&{\cdots}&0\\ 0&2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&2\\ \end{bmatrix}=2E$

注意：矩阵相加或相减时两个矩阵必须为同型矩阵，矩阵相乘时必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数（由於单位阵都是方阵，所以上述两个相乘的矩阵其实是同阶的方阵）。

对于数量矩阵$aE$和任意可乘矩阵$B$，有：$(aE)B=B(aE)=aB$。

由前面的介绍可知：$AE=EA=A$，但右乘的$E$和左乘的$E$并不相同。
例如：$A_{2×3}E_3=E_2A_{2×3}$中$E_3$和$E_2$阶数并不相同。

2 对角型矩阵

主对角线元素从$a_1$、$a_2$到$a_n$，其余元素全都为零的矩阵。
$\bcancel{\begin{bmatrix} a_1&0&{\cdots}&0\\ 0&a_2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&a_n\\ \end{bmatrix}}$

对角型矩阵可写为：$diag(a_1,a_2,...,a_n)$

例如$diag(1,2,3,4)$表示如下矩阵：
$\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&3&0\\ 0&0&0&4\\ \end{bmatrix}$

注意不是$\begin{bmatrix}1&2&3&4\end{bmatrix}$行矩阵。

很显然，数量矩阵也是一种特殊的对角型矩阵。

与数量矩阵类似，数与对角型矩阵相乘，以及对角型矩阵之和、对角型矩阵相减或对角型矩阵相乘，仍然是对角型矩阵，其和、差、积是其主对角线对应元素相加、相减和相乘所得到的对角型矩阵。

例1：设矩阵$A=diag(k_1,k_2,k_3)$，矩阵$B=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&2&2\\8&8&8\end{bmatrix}$，求$AB$和$BA$。

① $AB=\begin{bmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\2&2&2\\8&8&8\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}1k_1&2k_1&3k_1\\2k_2&2k_2&2k_2\\8k_3&8k_3&8k_3\end{bmatrix}$

不难发现：对角矩阵左乘另一个矩阵，相当于用对角元素依次乘以这个矩阵的行。

② $BA=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&2&2\\8&8&8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}1k_1&2k_2&3k_3\\2k_1&2k_2&2k_3\\8k_1&8k_2&8k_3\end{bmatrix}$

同理，不难发现：对角矩阵右乘另一个矩阵，相当于用对角元素依次乘以这个矩阵的列。

3 三角型矩阵

3.1 上三角型矩阵

主对角线以下元素全为零的矩阵。
例如：$\bcancel{\begin{bmatrix}1&1&1\\\color{red}{0}&1&1\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&1\end{bmatrix}}$

3.2 下三角型矩阵

主对角线以上元素全为零的矩阵。
例如：$\bcancel{\begin{bmatrix}1&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\2&3&\color{red}{0}\\4&5&6\end{bmatrix}}$

上三角型矩阵和下三角型矩阵统称为三角型矩阵。

显然，对角型矩阵即是上三角型矩阵也是下三角型矩阵。

数和上三角型矩阵或下三角型矩阵的乘积，以及上三角型矩阵和下三角型矩阵的和、减、积均是上三角型矩阵或下三角型矩阵。

4 对称矩阵

对称矩阵和对称行列式的定义类似，即以主对角线为轴，上下元素对应相等的矩阵。
例如：$\bcancel{\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&2&4\\-1&4&3\end{bmatrix}}$

所以：$a_{ij}=a_{ji}$。

对称矩阵重要结论：$\color{red}{A^T=A}$，几乎所有对称矩阵题目都要用到些等式。

显然，两个同阶对称矩阵的和、差和数乘仍然是对称矩阵，但是两个对称矩阵的乘积一般不再是对称矩阵。

验证：
假设矩阵$A$和矩阵$B$是两个同阶对称矩阵，那么：$A^T=A$，$B^T=B$。
① 对称矩阵的和：
$(A+B)^T=A^T+B^T=A+B$

② 对称矩阵的差：
$(A-B)^T=A^T-B^T=A-B$

③ 对称矩阵的数乘：
$(kA)^T=kA^T=kA$

④ 对称矩阵相乘：
$(AB)^T=B^TA^T=BA{\neq}AB$

定理1：如果$A$、$B$是两个同阶对称矩阵，$AB$仍然是对称矩阵${\Leftrightarrow}A$和$B$可交换。

充分性：$(AB)^T=B^TA^T=BA=AB$；
必要性：$A$和$B$可交换，则$AB=BA$，故$(AB)^T=AB$，所以$AB$就是对称矩阵。

例2：已知$A$是一个$m×n$的普通矩阵，证明：$AA^T$与$A^TA$都是对称矩阵。

证明：
① 因为$(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T$，所以$AA^T$是对称矩阵；
② 因为$(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA$，所以$A^TA$是对称矩阵。

练习：$A$、$B$均是$n$阶矩阵，并且$A$是对称矩阵，证明$B^TAB$也是对称矩阵。
证明：因为$(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TA^TB$，
又因为$A$是对称矩阵，所以$B^TA^TB=B^TAB$，
即$(B^TAB)^T=B^TAB$，
所以$B^TAB$是对称矩阵。

5 反对称矩阵

反对称矩阵也和反对称行列式的定义类似，即以主对角线为轴，上下元素对应成相反数的矩阵。
例如：$\bcancel{\begin{bmatrix}0&1&-3\\-1&0&-4\\3&4&0\end{bmatrix}}$

所以：$a_{ij}=-a_{ji}$，对于主对角线上的元素：$a_{ii}=-a_{ii}$，所以$a_{ii}=0$，即反对称矩阵主对角线上元素全为零（对称矩阵主对角线上元素没有要求）。

反对称矩阵重要结论：$\color{red}{A^T=-A}$，只要证明是反对称矩阵，一般都要使用些公式。

显然，与对称矩阵类似，两个同阶反对称矩阵的和、差、数乘仍然是反对称矩阵，但两个反对称矩阵的乘积一般不再是反对称矩阵。

6 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.3 特殊矩阵