线性代数学习笔记（十二）——逆矩阵（一）

本篇笔记首先回顾了矩阵的运算，并通过数的除法讨论逆矩阵的引入部分，需要注意：$\color{red}{永远不要把矩阵放到分母上！}$所以矩阵不存在除法的说法；然后通过矩阵的属性讨论了方阵的行列式，以及方阵行列式的三条性质；最后重点介绍了方阵的伴随矩阵，包括伴随矩阵的求法，以及伴随矩阵相关的定理和推论。

1 矩阵运算回顾

前面在介绍矩阵的运算时，已经学习过了矩阵的加法、矩阵的减法、矩阵的数乘以及矩阵的乘法，那矩阵是否有除法运算呢？“矩阵的除法”就是下一篇博客要介绍的逆矩阵，其实矩阵只有逆矩阵，并没有除法的说法。

比如对于数来说：$2×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×2=1$，
那么能否找到矩阵$A$和矩阵$B$，使得：$A×B=B×A=E$。

是否是$B=\frac{1}{A}$呢？因为：$\bcancel{A}×\frac{1}{\bcancel{A}}=\frac{1}{\bcancel{A}}×\bcancel{A}=E$。

以上做法是错误的！$\color{red}{永远不要把矩阵放到分母上}$。

2 方阵的行列式

将给定方阵的元素作为行列式的元素就叫方阵的行列式。

例如：方阵$A=\begin{bmatrix}2&2&2\\3&3&3\\1&1&1\end{bmatrix}$，则其行列式记作：$|A|$，故$|A|=\begin{vmatrix}2&2&2\\3&3&3\\1&1&1\end{vmatrix}$。

不难发现，上述$|A|=0$，我们知道，行列式表示一个数，而矩阵表示一个数表，那么求矩阵的行列式是什么意思呢？其实矩阵具有很多的属性，方阵的行列式是方阵其中的一个属性，其他属性例如：

矩阵$\begin{cases} 特征值\\ 特征向量\\ 行列式\\ ...\\ \end{cases}$

3 方阵行列式的性质

① $\color{red}{|A^T|=|A|}$
原因：行列式性质第一条，行列式转置值不变。

★ ② $\color{red}{|kA|=k^n|A|}$
原因：矩阵所有元素有公因子向外提$1$次，行列式所有元素的公因子向外提$n$次。

例如：$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{bmatrix}$

$kA=\begin{bmatrix}k&k&k\\2k&2k&2k\\3k&3k&3k\end{bmatrix}$

$|kA|=\begin{vmatrix}k&k&k\\2k&2k&2k\\3k&3k&3k\end{vmatrix}$

$|kA|=k^3\begin{vmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{vmatrix}=k^3|A|$

③ $\color{red}{|AB|=|A||B|}$
行列式的乘法定理，前提条件：$A$、$B$为同阶，可以推广到多个方阵相乘的情况，如$|ABC|=|A||B||C|$。

例1：已知$A$为$5$阶方阵，并且$|A|=3$，求$|-A|$、$|2A^T|$、$|||A|A|$和$||||A|A|A|A|$。

(1) $|-A|=(-1)^5|A|=-1×3=-3$；

(2) $|2A^T|=2^5|A^T|=2^5|A|=2^5×3=96$；

(3) $||A|A|=|3A|=3^5|3|=3^5×3=3^6$；

(4) $||||A|A|A|A|$
$=|||3A|A|A|$
$=||3^5|A|A|A|$
$=||3^5×3A|A|$
$=||3^6A|A|$
$=|(3^6)^5|A|A|$
$=|3^{30}|A|A|$
$=|3^{30}×3A|$
$=|3^{31}A|$
$=(3^{31})^5|A|$
$=3^{155}|A|$
$=3^{155}×3$
$=3^{156}$

4 伴随矩阵

只有方阵才有伴随矩阵。

定义：假设$n$阶方阵$A$，$A_{ij}$是其元素$a_{ij}$的代数余子式，那么矩阵$A$的伴随矩阵：
$A^*=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&{\cdots}&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&{\cdots}&A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ A_{1n}&A_{2n}&{\cdots}&A_{nn}\\ \end{bmatrix}$。

矩阵$A$的伴随矩阵记作$A^*$。

例2：矩阵$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\2&1&3\\1&1&4\end{bmatrix}$

① 第一步：分别求所有元素的代数余子式
$A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&3\\1&4\end{vmatrix}=1$
$A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}=-5$
$A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=1$
$A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1&1\\1&4\end{vmatrix}=-3$
$A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&1\\1&4\end{vmatrix}=3$
$A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0$
$A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}=2$
$A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}=-1$
$A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=-1$

② 第二步：按行求的代数余子式按列放构成矩阵
$A^*=\begin{bmatrix}1&-3&2\\-5&3&-1\\1&0&-1\end{bmatrix}$

求伴随矩阵的口诀：$\color{red}{按行求，按列放}$。

定理2.4.1：对于任意方阵$A$，有：$\color{red}{AA^*=A^*A=|A|E}$。

证明：
① $AA^*=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&{\cdots}&a_{2n}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{n1}&a_{n2}&{\cdots}&a_{nn}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&{\cdots}&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&{\cdots}&A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ A_{1n}&A_{2n}&{\cdots}&A_{nn}\\ \end{bmatrix}$

根据矩阵的乘法得：
$=\begin{bmatrix} a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+...+a_{1n}A_{1n}&a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+...+a_{1n}A_{2n}&{\cdots}&a_{11}A_{n1}+a_{12}A_{n2}+...+a_{1n}A_{nn}\\ a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}+...+a_{2n}A_{1n}&a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+...+a_{2n}A_{2n}&{\cdots}&a_{21}A_{n1}+a_{22}A_{n2}+...+a_{2n}A_{nn}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{n1}A_{11}+a_{n2}A_{12}+...+a_{nn}A_{1n}&a_{n1}A_{21}+a_{n2}A_{22}+...+a_{nn}A_{2n}&{\cdots}&a_{n1}A_{n1}+a_{n2}A_{n2}+...+a_{nn}A_{nn}\\ \end{bmatrix}$

根据行列式的按行展开定理：某行元素与其对应代数余子式相乘等于行列式的值，即：$a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+...+a_{1n}A_{1n}=|A|$。

根据异乘变零定理：某行元素与其他行元素对应代数余子式相乘等于零，即：$a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+...+a_{1n}A_{2n}=0$。

同理其他元素也是相同的处理，所以上述表达式：
$=\begin{bmatrix} |A|&0&{\cdots}&0\\ 0&|A|&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&|A|\\ \end{bmatrix}$

$=|A|E$

② $A^*A=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&{\cdots}&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&{\cdots}&A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ A_{1n}&A_{2n}&{\cdots}&A_{nn}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&{\cdots}&a_{2n}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{n1}&a_{n2}&{\cdots}&a_{nn}\\ \end{bmatrix}$

根据矩阵的乘法得：
$=\begin{bmatrix} a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+...+a_{n1}A_{n1}&a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+...+a_{n2}A_{n1}&{\cdots}&a_{1n}A_{11}+a_{2n}A_{21}+...+a_{nn}A_{n1}\\ a_{11}A_{12}+a_{21}A_{22}+...+a_{n1}A_{n2}&a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+...+a_{n2}A_{n2}&{\cdots}&a_{1n}A_{12}+a_{2n}A_{22}+...+a_{nn}A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{11}A_{1n}+a_{21}A_{2n}+...+a_{n1}A_{nn}&a_{12}A_{1n}+a_{22}A_{2n}+...+a_{n2}A_{nn}&{\cdots}&a_{1n}A_{1n}+a_{2n}A_{2n}+...+a_{nn}A_{nn}\\ \end{bmatrix}$

根据行列式的按列展开定理：某列元素与其对应代数余子式相乘等于行列式的值，即：$a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+...+a_{n1}A_{n1}=|A|$。

根据异乘变零定理：某列元素与其他列元素对应代数余子式相乘等于零，即：$a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+...+a_{n2}A_{n1}=0$。

同理其他元素也是相同的处理，所以上述表达式：
$=\begin{bmatrix} |A|&0&{\cdots}&0\\ 0&|A|&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&|A|\\ \end{bmatrix}$

$=|A|E$

综上所述：$AA^*=A^*A=|A|E$。

推论2.4.1：若$|A|{\neq}0$，则：$\color{red}{|A^*|=|A|^{n-1}}$。

证明：因为$AA^*=|A|E$，两边取行列式得：
$|AA^*|=||A|E|$

即：$|A||A^*|=|A|^n|E|$
又因为：$|E|=1$
所以：$|A||A^*|=|A|^n$
因为$|A|{\neq}0$，所以两边同时除以$|A|$得：
$|A^*|=|A|^{n-1}$
故原式获证。

事实上，可以证明，当$|A|=0$时，以上结论也是成立的。

5 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.4 逆矩阵（一）