原文:Eigen官網-Reductions, visitors and broadcasting
1. Reductions
在Eigen中,Reduction是用來處理matrix或者array的某類特徵,然後返回一個標量。
1.1 求和
sum()
返回matrix或array中所有元素的和。
1.2 範數計算
L2範數 squareNorm()
,等價於計算vector的自身點積,也等價於vector中所有元素的平方和。
norm()
返回squareNorm()
的開方根。
這些操作應用於matrix,norm()
會返回Frobenius或Hilbert-Schmidt範數。
如果你想使用其他Lp範數,可以使用lpNorm< p >()方法。p可以取Infinity,表示L∞範數。
示例如下:
#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
VectorXf v(2);
MatrixXf m(2,2), n(2,2);
v << -1,
2;
m << 1,-2,
-3,4;
cout << "v.squaredNorm() = " << v.squaredNorm() << endl;
cout << "v.norm() = " << v.norm() << endl;
cout << "v.lpNorm<1>() = " << v.lpNorm<1>() << endl;
cout << "v.lpNorm<Infinity>() = " << v.lpNorm<Infinity>() << endl;
cout << endl;
cout << "m.squaredNorm() = " << m.squaredNorm() << endl;
cout << "m.norm() = " << m.norm() << endl;
cout << "m.lpNorm<1>() = " << m.lpNorm<1>() << endl;
cout << "m.lpNorm<Infinity>() = " << m.lpNorm<Infinity>() << endl;
}
結果如下:
v.squaredNorm() = 5
v.norm() = 2.23607
v.lpNorm<1>() = 3
v.lpNorm<Infinity>() = 2
m.squaredNorm() = 30
m.norm() = 5.47723
m.lpNorm<1>() = 10
m.lpNorm<Infinity>() = 4
Operator norm: 1-norm和∞-norm可以通過其他方式得到。
示例如下:
#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main()
{
MatrixXf m(2,2);
m << 1,-2,
-3,4;
cout << "1-norm(m) = " << m.cwiseAbs().colwise().sum().maxCoeff()
<< " == " << m.colwise().lpNorm<1>().maxCoeff() << endl;
cout << "infty-norm(m) = " << m.cwiseAbs().rowwise().sum().maxCoeff()
<< " == " << m.rowwise().lpNorm<1>().maxCoeff() << endl;
}
結果如下:
1-norm(m) = 6 == 6
infty-norm(m) = 7 == 7
1.2 布爾歸約
這些功能通常和Array中提供的元素級的比較操作一起使用。
操作 | 功能 |
---|---|
all() | 如果Matrix或Array中所有元素的對應操作返回Ture則返回True |
any() | 如果Matrix或Array中所有元素中至少一個元素的對應操作返回Ture則返回True |
count() | 返回Matrix或Array中所有元素對應操作返回True的數量 |
示例如下:
#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
ArrayXXf a(2,2);
a << 1,2,
3,4;
cout << "(a > 0).all() = " << (a > 0).all() << endl;
cout << "(a > 0).any() = " << (a > 0).any() << endl;
cout << "(a > 0).count() = " << (a > 0).count() << endl;
cout << endl;
cout << "(a > 2).all() = " << (a > 2).all() << endl;
cout << "(a > 2).any() = " << (a > 2).any() << endl;
cout << "(a > 2).count() = " << (a > 2).count() << endl;
}
結果如下:
(a > 0).all() = 1
(a > 0).any() = 1
(a > 0).count() = 4
(a > 2).all() = 0
(a > 2).any() = 1
(a > 2).count() = 2
2. Visitors
當我們想獲取某元素在Matrix或Array中的位置的時候,迭代器是必須的。常用的有:minCoeff(&x, &y)
和maxCoeff(&x, &y)
。
傳入visitor中的參數是某個變量的指針,其中存儲了該變量在矩陣中的行、列位置。
示例如下:
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
Eigen::MatrixXf m(2,2);
m << 1, 2,
3, 4;
//get location of maximum
MatrixXf::Index maxRow, maxCol;
float max = m.maxCoeff(&maxRow, &maxCol);
//get location of minimum
MatrixXf::Index minRow, minCol;
float min = m.minCoeff(&minRow, &minCol);
cout << "Max: " << max << ", at: " <<
maxRow << "," << maxCol << endl;
cout << "Min: " << min << ", at: " <<
minRow << "," << minCol << endl;
}
結果如下:
Max: 4, at: 1,1
Min: 1, at: 0,0
3. Partial reductions-部分歸約
Eigen中支持對Matrx或Array的行或列進行歸約操作,返回該行或該列中的相應值。部分歸約可以使用colwise()
、rowwise()
函數。其中,colwise()
返回一個行向量,rowwise()
返回一個列向量。
示例如下:
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
int main()
{
Eigen::MatrixXf mat(2,4);
mat << 1, 2, 6, 9,
3, 1, 7, 2;
std::cout << "Column's maximum: " << std::endl
<< mat.colwise().maxCoeff() << std::endl;
}
結果如下:
Column's maximum:
3 2 7 9
3.1 結合部分歸約和其他操作
可以利用部分歸約操作的結果進行進一步處理,比如尋找一個矩陣中最大的列向量和。
示例如下:
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
MatrixXf mat(2,4);
mat << 1, 2, 6, 9,
3, 1, 7, 2;
MatrixXf::Index maxIndex;
float maxNorm = mat.colwise().sum().maxCoeff(&maxIndex);
std::cout << "Maximum sum at position " << maxIndex << std::endl;
std::cout << "The corresponding vector is: " << std::endl;
std::cout << mat.col( maxIndex ) << std::endl;
std::cout << "And its sum is is: " << maxNorm << std::endl;
}
結果如下:
Maximum sum at position 2
The corresponding vector is:
6
7
And its sum is is: 13
4. Broadcasting
廣播背後的概念類似於部分歸約,其區別在於廣播構造一個表達式,其中向量(列或行)通過在一個方向上覆制而被解釋爲矩陣。
比如將一個列向量加到一個矩陣的每列上。
注意:對Array類型,*=,/=和/這些操作可以進行行/列級的操作,但不使用與Matrix,因爲會與矩陣乘混淆。當用Broadcasting對Matrix類進行操作只能應用於Vector類型,而不能用於Matrix類型。同樣,對Array類進行操作時,和VectorXf對應的ArrayXf類型。
示例如下:
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
int main()
{
Eigen::MatrixXf mat(2,4);
Eigen::VectorXf v(2);
mat << 1, 2, 6, 9,
3, 1, 7, 2;
v << 0,
1;
//add v to each column of m
mat.colwise() += v;
std::cout << "Broadcasting result: " << std::endl;
std::cout << mat << std::endl;
}
結果如下:
Broadcasting result:
1 2 6 9
4 2 8 3
4.1 結合廣播和其他操作
計算矩陣中哪列與目標向量距離(Euclidean distance)最近。
示例如下:
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
Eigen::MatrixXf m(2,4);
Eigen::VectorXf v(2);
m << 1, 23, 6, 9,
3, 11, 7, 2;
v << 2,
3;
MatrixXf::Index index;
// find nearest neighbour
(m.colwise() - v).colwise().squaredNorm().minCoeff(&index);
cout << "Nearest neighbour is column " << index << ":" << endl;
cout << m.col(index) << endl;
}
結果如下:
Nearest neighbour is column 0:
1
3