Eigen學習筆記(1)-入門

原文：Eigen官網-Getting started

Eigen 是一個基於C++的線性代數庫，其中實現大量常用的線性代數算法，包括常規矩陣計算，矩陣變換，矩陣分解，矩陣塊操作。Eigen 廣泛地應用在開源項目中，例如OpenCV，PCL(Point Cloud Library)，ROS等。其實Eigen中算法都可以在matlab中找到，但是由於matlab是半開源的。所以，如果想在自己的項目中使用，還是要義無反顧地選擇Eigen。Eigen目前的版本是3.3.7(2019.12.09)。

Eigen只包含頭文件，因此它不需要實現編譯，只需要你include到你的項目，指定好Eigen的頭文件路徑，編譯項目即可。而且跨平臺，當然這是必須的。

模塊和頭文件

Eigen庫被分爲一個Core模塊和其他一些模塊，每個模塊有一些相應的頭文件。 爲了便於引用，Dense模塊整合了一系列模塊；Eigen模塊整合了所有模塊。一般情況下，include<Eigen/Dense> 就夠了。

Module	Header file	Contents
Core	#include <Eigen/Core>	Matrix和Array類，基礎的線性代數運算和數組操作
Geometry	#include <Eigen/Geometry>	旋轉、平移、縮放、2維和3維的各種變換
LU	#include <Eigen/LU>	求逆，行列式，LU分解
Cholesky	#include <Eigen/Cholesky>	LLT和LDLT Cholesky分解
Householder	#include <Eigen/Householder>	豪斯霍爾德變換，用於線性代數運算
SVD	#include <Eigen/SVD>	SVD分解
QR	#include <Eigen/QR>	QR分解
Eigenvalues	<include <Eigen/Eigenvalues>	特徵值，特徵向量分解
Sparse	#include <Eigen/Sparse>	稀疏矩陣的存儲和一些基本的線性運算
-	#include <Eigen/Dense>	包含了Core/Geometry/LU/Cholesky/SVD/QR/Eigenvalues模塊
-	#include <Eigen/Eigen>	包括Dense和Sparse(整個Eigen庫)

一個簡單的例子

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense> 

using Eigen::MatrixXd;

int main()
{
  MatrixXd m(2,2);
  m(0,0) = 3;
  m(1,0) = 2.5;
  m(0,1) = -1;
  m(1,1) = m(1,0) + m(0,1);
  std::cout << m << std::endl;
  return 0;
}

編譯：
Eigen是不需要進行庫連接的，只需要讓編譯器能找到Eigen的頭文件即可，因此Eigen的源代碼必須要放到inclue目錄下面。當用GCC進行編譯時，可以通過-I來指定Eigen文件的路徑。

g++ -I /path/to/eigen/ my_program.cpp -o my_program 

當在Linux或者Mac OS X系統下，可以將Eigen源代碼放到/usr/local/include目錄下，然後直接通過如下指令編譯代碼：

g++ my_program.cpp -o my_program

結果如下：

  3  -1
2.5 1.5

代碼解釋：
首先，代碼引入了eigen的頭文件，這裏Eigen/Dense 一次引入了多個常用的模塊。

程序首先定義了一個2 x 2的矩陣。根據Eigen的定義 ，MatrixXd，這個類型可以拆成三部分來看，Matrix-X-d，Matrix表示定義的是一個矩陣，X表示定義的矩陣維度不確定，d表示double，指矩陣中每一個元素都是double類型的。m(2,2)指定了矩陣的大小是2x2的。從第9 行到第12 行則爲矩陣中的元素進行了賦值操作。

最後輸出矩陣。

第二個例子

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main()
{
  // 創建一個3 x 3的隨機矩陣，每個元素的範圍都在（-1,1）之間
  MatrixXd m = MatrixXd::Random(3,3);
  // 將每個元素的範圍設置在 （10,110）之間，MatrixXd::Cosntant() 用於產生每個元素都相同的矩陣，這裏每個元素都是1.2
  m = (m + MatrixXd::Constant(3,3,1.2)) * 50;
  // 輸出m
  cout << "m =" << endl << m << endl;
  // 創建一個長度爲 3 的列向量
  VectorXd v(3);
  // 爲向量元素賦值，這裏Eigen 將 << 操作符重載了。
  v << 1, 2, 3;
  // 矩陣和向量做乘法並輸出結果
  cout << "m * v =" << endl << m * v << endl;
}

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main()
{
  Matrix3d m = Matrix3d::Random();
  m = (m + Matrix3d::Constant(1.2)) * 50;
  cout << "m =" << endl << m << endl;
  Vector3d v(1,2,3);
  
  cout << "m * v =" << endl << m * v << endl;
}

輸出結果如下：

m =
  94 89.8 43.5
49.4  101 86.8
88.3 29.8 37.8
m * v =
404
512
261

上面的例子展示生成矩陣和向量的不同方法，其實向量就是列數爲1 的矩陣。

使用固定大小的矩陣或向量有兩個好處：（1）編譯更快，因爲編譯器知道矩陣或向量的大小；
（2）指定大小可以進行更爲嚴格的檢查，比如你將Matrix4d(4*4 matrix)和Vector3d進行乘法操作。

當然使用太多類別（Matrix3d、Matrix4d、Matrix5d…）會增加編譯時間和可執行文件大小，原則對於4*4或者更小的矩陣使用固定大小的矩陣。

參考：

“Eigen教程(1)”
“Eigen學習”