Eigen學習筆記(3)-矩陣和向量的運算

原文：Eigen官網-Matrix and vector arithmetic
本節內容主要介紹Eigen中關於矩陣、向量、標量之間的數學運算。

1. 引言

Eigen提供了matrix/vector的運算操作，既包括重載了c++的算術運算符+/-/*，也引入了一些特殊的運算比如點乘dot()、叉乘cross()等。

對於Matrix類（matrix和vectors）這些操作只支持線性代數運算，比如：matrix1*matrix2表示矩陣相乘，vetor+scalar是不允許的。如果你想執行非線性代數操作，請看下一篇（暫時放下）。

2. 加法和減法

左右兩側的變量都必須具有相同的大小（行和列）和數據類型（Eigen不會自動進行類型轉化）。操作符如下：

• 二元運算符+ 如a+b
• 二元運算符- 如a-b
• 一元運算符- 如-a
• 複合運算符+= 如a+=b
• 複合運算符-= 如a-=b
  示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
int main()
{
  Matrix2d a;
  a << 1, 2,
       3, 4;
  MatrixXd b(2,2);
  b << 2, 3,
       1, 4;
  std::cout << "a + b =\n" << a + b << std::endl;
  std::cout << "a - b =\n" << a - b << std::endl;
  std::cout << "Doing a += b;" << std::endl;
  a += b;
  std::cout << "Now a =\n" << a << std::endl;
  Vector3d v(1,2,3);
  Vector3d w(1,0,0);
  std::cout << "-v + w - v =\n" << -v + w - v << std::endl;
}

結果如下：

a + b =
3 5
4 8
a - b =
-1 -1
 2  0
Doing a += b;
Now a =
3 5
4 8
-v + w - v =
-1
-4
-6

3. 標量乘法和除法

矩陣或者向量與標量進行乘法或除法操作是比較簡單的。操作符如下：

• 二元運算 * 如matrix*scalar
• 二元運算 * 如scalar*matrix
• 二元運算 / 如matrix/scalar
• 複合運算 *= 如matrix*=scalar
• 複合運算 /= 如matrix/=scalar

4. 轉置和共軛

$a^T$表示轉置(transpose)；
$\bar{a}$表示共軛(conjugate)；
$a^*$表示共軛轉置（伴隨矩陣）(adjoint)。
上述三個操作分別通過transpose()， conjugate()，以及adjoint()函數實現。
示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

int main()
{
Matrix2d a;
a << 1, 2,
     3, 4;
std::cout << "Here is the matrix a\n" << a << std::endl;
std::cout << "Here is the transpose of a\n" << a.transpose() << std::endl;
std::cout << "Here is the conjugate of a\n" << a.conjugate() << std::endl;
std::cout << "Here is the adjoint of a\n" << a.adjoint() << std::endl;
return 0;
}

結果如下：

Here is the matrix a
1 2
3 4
Here is the transpose of a
1 3
2 4
Here is the conjugate of a
1 2
3 4
Here is the adjoint of a
1 3
2 4

對於實數矩陣，conjugate不執行任何操作，adjoint等價於transpose。

transpose和adjoint會簡單的返回一個代理對象並不做真正的轉置。如果執行 b=a.transpose() ，a不變，轉置結果被賦值給b。如果執行 a=a.transpose() Eigen在轉置結束之前結果會開始寫入a，所以a的最終結果不一定等於a的轉置。這就是所謂的別名問題。在“調試模式”中，也就是說，當斷言沒有被禁用時，這種常見的陷阱會被自動檢測到。

對於a = a.transpose()這種操作，可以使用transposeInPlace()解決，類似的還有adjointInPlace()。
示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

int main()
{
Matrix2d a;
a << 1, 2,
     3, 4;
std::cout << "Here is the matrix a\n" << a << std::endl;

//a = a.transpose(); //!!!do Not do this!!!在這裏無法編譯通過
//std::cout << "the result of the aliasing effect: \n" << a << std::endl;

Matrix2d b;
b << 1, 2,
     3, 4;
b.transposeInPlace();
std::cout << " b after being transposed:\n" << b << std::endl;

return 0;
}

結果如下：

Here is the matrix a
1 2
3 4
 b after being transposed:
1 3
2 4

5. 矩陣-矩陣的乘法和矩陣-向量的乘法

因爲向量是一種特殊的矩陣，因此本質上都是矩陣-矩陣的乘法。運算符如下：

• 二元運算* 如a*b
• 複合運算 *= 如a*=b (這種右乘操作，a*=b等價於a=a*b)

m=m*m並不會導致別名問題，Eigen在這裏做了特殊處理，引入了臨時變量。實質將編譯爲：

tmp = m*m
m = tmp

如果你確定矩陣乘法是安全的（並沒有別名問題），你可以使用noalias()函數來避免臨時變量。

c.noalias() += a*b

6. 點乘和叉乘

dot()執行點積，cross()執行叉積，點運算得到1*1的矩陣。當然，點運算也可以用u.adjoint()*v來代替。

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main()
{
  Vector3d v(1,2,3);
  Vector3d w(0,1,2);
  cout << "Dot product: " << v.dot(w) << endl;
  double dp = v.adjoint()*w; // automatic conversion of the inner product to a scalar
  cout << "Dot product via a matrix product: " << dp << endl;
  cout << "Cross product:\n" << v.cross(w) << endl;
}

結果如下：

	
Dot product: 8
Dot product via a matrix product: 8
Cross product:
 1
-2
 1

注意：點積只對三維vector有效。對於複數，Eigen的點積是第一個變量共軛和第二個變量的線性積。

7. 基礎的歸約操作

Eigen提供了一些歸約函數把一個給定的矩陣或向量化爲一個值，比如

• 求和（sum()）；
• 累積乘積（prod()），矩陣中所有元素的乘積；
• 平均值（mean()），矩陣中所有元素的平均值；
• 最大值（maxCoeff()），矩陣中所有元素的最大值，也可以返回最大值的位置；
• 最小值（minCoeff()），矩陣中所有元素的最小值，也可以返回最小值的位置；
• 跡（trace()），一個矩陣中對角線元素的和，也可以用a.diagonal().sum()進行計算。
  示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace std;
int main()
{
  Eigen::Matrix2d mat;
  mat << 1, 2,
         3, 4;
  cout << "Here is mat.sum():       " << mat.sum()       << endl;
  cout << "Here is mat.prod():      " << mat.prod()      << endl;
  cout << "Here is mat.mean():      " << mat.mean()      << endl;
  cout << "Here is mat.minCoeff():  " << mat.minCoeff()  << endl;
  cout << "Here is mat.maxCoeff():  " << mat.maxCoeff()  << endl;
  cout << "Here is mat.trace():     " << mat.trace()     << endl;

  ptrdiff_t i,j;
  double minOfMat = mat.minCoeff(&i, &j);
  cout << "Its minimum coefficient (" << minOfMat << ") is at position (" << i << "," << j << ")\n\n";

  Eigen::RowVector4i v = Eigen::RowVector4i::Random();
  int maxOfV = v.maxCoeff(&i);
  cout << "Here is the vector v: " << v << endl;
  cout << "Its maximum coefficient (" << maxOfV
       << ") is at position " << i << endl;

  return 0;
}

結果如下：

Here is mat.sum():       10
Here is mat.prod():      24
Here is mat.mean():      2.5
Here is mat.minCoeff():  1
Here is mat.maxCoeff():  4
Here is mat.trace():     5
Its minimum coefficient (1) is at position (0,0)

Here is the vector v:  730547559 -226810938  607950953  640895091
Its maximum coefficient (730547559) is at position 0

8. 操作的有效性

Eigen會檢測執行操作的有效性，在編譯階段Eigen會檢測它們，錯誤信息是繁冗的，但錯誤信息會大寫字母突出，比如:

Matrix3f m;
Vector4f v;
v = m*v;      // Compile-time error: YOU_MIXED_MATRICES_OF_DIFFERENT_SIZES

當然動態尺寸的錯誤要在運行時發現，如果在debug模式，assertions會觸發後，程序將崩潰。

MatrixXf m(3,3);
VectorXf v(4);
v = m * v; // Run-time assertion failure here: "invalid matrix product"

參考：

“Eigen教程(3)”