为什么引入李群与李代数？
SLAM中对矩阵求导数的应用场景？什么情况下用到李代数左乘扰动模型求导数？
为什么不能用李群求导？
李群与李代数的关系？
李代数左乘扰动的理解？
0 为什么引入李群与李代数？
slam中后端优化需要用到求解最小二乘问题，优化变量为旋转矩阵与平移矩阵。但是旋转矩阵自身是带有约束的，正交且行列式为1，他们作为优化变量时，会引入额外的约束，使优化变的困难，不加约束会使每一步迭代得到的结果不是旋转矩阵。通过李群李代数的转换关系，把位姿估计变成无约束的优化问题。
1 李群与李代数在SLAM中的用途
视觉SLAM中用李群表示相机位姿T，用李代数求导数。
对于同一个特征点，如果上一时刻得到该点相机座标系下的三维座标为P，当前时刻观测到相机座标系下的座标为Z，则两时刻相机位姿变化矩阵为T，有如下公式：
由于误差不可避免，并且两时刻之间可以观测到很多匹配好的特征点，因此一般用很多观测到的特征点构建优化问题，以减小求解误差：
变化矩阵的形式如下：
![T =\left [ \begin{matrix} R & t \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right ]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?T%20%3D%5Cleft%20%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20R%20%26%20t%20%5C%5C%200%20%26%201%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%5D)
变化矩阵T包含了旋转R与平移t信息，其重要性质：两个矩阵T相乘得到的同样是一个变化矩阵。比如矩阵T1和T2表示两个变化矩阵，则：
![T_1\cdot T_2 =\left [ \begin{matrix} R_1\cdot R_2 & t_1+R_1t_2 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right ] = T =\left [ \begin{matrix} R & t \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right ]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?T_1%5Ccdot%20T_2%20%3D%5Cleft%20%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20R_1%5Ccdot%20R_2%20%26%20t_1+R_1t_2%20%5C%5C%200%20%26%201%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%5D%20%3D%20T%20%3D%5Cleft%20%5B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20R%20%26%20t%20%5C%5C%200%20%26%201%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%5D)
因此变化矩阵T恰好是一个李群，即对乘法封闭的李群。我们的目的是求解问题（1-2），即优化变量为T，优化问题为最小二乘问题，可以利用李群的性质求解优化问题（1-2）。
2 不用李群求导数的原因
对于最小二乘问题（1-2）求解办法一般是梯度法，需要求解函数J对矩阵T的导数，并且每次迭代：
李代数对应李群，李代数满足加法，因此可以利用李群与李代数之间的关系求解导数。
3 李群与李代数的关系
李群 = 矩阵集合+运算，比如变化矩阵T对乘法封闭，即构成"实数+乘法"的群。
李代数描述了李群的导数，是向量。
旋转矩阵R构成的李群对应的李代数是旋转向量，变化矩阵T构成的李群对应的李代数是旋转向量与平移向量组成的六维向量，slam中只用到这两个群的概念，其余的不会。并且这两个李群与对应的李代数是一一对应的。（角度固定在
李群转化为李代数通过对数映射，李代数转化为通过指数映射完成。具体如下：
a表示单位方向，
4 左乘扰动模型理解
旋转矩阵的左乘扰动模型求导：
假设对空间点P进行了旋转R操作，需要求RP关于R的导数，求导方法是对R进行一次扰动
理解：我们的目的是迭代求解出旋转矩阵，只要能够求解出优化方程中的旋转矩阵，使目标函数逐渐减小即可。因此给旋转矩阵乘以一个旋转矩阵微小扰动，然后对该扰动求解导数，此时变量变成了微小扰动。如果能够求解出该微小扰动，并且该微小扰动可以使目标函数减小，说明该微小扰动作为更新量是可行的，迭代公式变为
同理变化矩阵的左乘扰动模型求导如下：
