方向导数
定理
- 若函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微,沿任意方向l的方向导数
- ∂l∂f=∂x∂fcosα+∂y∂fcosβ+∂z∂fcosγ
- 其中α,β,γ 为l的方向角
- 证明
- 由函数f(x,y,z)在点P可微
- △f=∂x∂f△x+∂y∂f△y+∂z∂f△z+o(ρ)
- =ρ(∂x∂fcosα+∂y∂fcosβ+∂z∂fcosγ)+o(ρ)
- ∂l∂f=limρ→0ρ△f=∂x∂fcosα+∂y∂fcosβ+∂z∂fcosγ
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- 对于二元函数f(x,y)在点P(x,y)处沿着方向l(方向角为α,β)的方向导数为
- ∂l∂f=limρ→0ρf(x+△x,y+△y)−f(x,y)=fx′(x,y)cosα+fy′(x,y)cosβ
- ρ=(△x)2+(△y)2
- △x=ρcosα
- △y=ρcosβ
- 特别地
- l与x轴同向(α=0,β=2π)时,有∂l∂f=∂x∂f
- l与x轴反向(α=π,β=2π)时,有∂l∂f=−∂x∂f
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方向导数
- 方向导数(directional derivative): 有时不仅仅需要知道函数在座标轴上的变化率(即偏导数),还需要设法求得函数在其他特定方向上的变化率;
- 而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
- 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的,那么,函数在该点沿着任意方向L的方向导数都存在
- 且计算公式为:∂l∂f=∂x∂fcosα+∂y∂fcosβ
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例1
- 求函数u=x2yz 在点P(1,1,1)沿向量 l=(2,−1,3)的方向导数.
- ∂l∂u=∂x∂ucosα+∂y∂ucosβ+∂z∂ucosγ
- 解
- 向量l的方向余弦为: cosα=142,cosβ=14−1,cosγ=143
- ∂l∂u∣∣P=(2xyz∗142)−x2z∗141+x2y∗143∣∣∣(1,1,1)=146
例2
- 求函数z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2, -1)的方向的方向导数
- 解
- 方向l即向量PQ=(1,−1)的方向,与l同方向的单位向量el=(21,−21).=(cosα,cosβ)
- 因函数可微,且∂x∂z∣∣(1,0)=e2y∣∣(1,0)=1,∂y∂z∣∣∣(1,0)=2xe2y∣∣(1,0)=2
- 所以,所求方向导数为:∂l∂z∣∣(1,0)=1∗21+2∗(−21)=−22
例3
- 求f(x,y,z)=xy+yz+zx 在点(1,1,2)沿方向l的方向导数,其中l的方向角分别为:60°, 45°, 60°
- 解:
- 与l同方向的单位向量 el=(cos60°,cos45°,cos60°)=(21,22,21)
- 因函数可微,且
- fx′(1,1,2)=(y+z)∣(1,1,2)=3
- fy′(1,1,2)=(x+z)∣(1,1,2)=3
- fz′(1,1,2)=(y+x)∣(1,1,2)=2
- 所以∂l∂f∣(1,1,2)=3∗21+3∗22+2∗21=21(5+32)
梯度
1 ) 概念
- 在空间的每一个点都可以确定无限多个方向,因此,一个多元函数在某个点也必然有无限多个方向导数.
- 在这无限多个方向导数中,最大的一个(它直接反映了函数在这个点的变化率的数量级)等于多少? 它是沿什么方向达到的?
- 描述这个最大方向导数及其所沿方向的矢量,就是我们所讨论的梯度.
- 梯度是场论里的一个基本概念.所谓"场", 它表示空间区域上某种物理量的一种分布
- 从数学上看,这种分布常常表示为 Ω 上的一种数值函数或向量函数
- 能表示为数值函数u=u(x,y,z)的场,称为数量场,如温度场、密度场等
2 ) 方向导数公式
- ∂l∂f=∂x∂fcosα+∂y∂fcosβ+∂z∂fcosγ
- 令向量 G=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)
- l°=(cosα,cosβ,cosγ)
- ∂l∂f=G⋅l°=∣G∣cos(G,l°) (∣l°∣=1)
- 当l°与G方向一致时,方向导数取最大值:max(∂l∂f)=∣G∣
- 可见:G
- 方向:f 变化率最大的方向
- 模:f 的最大变化率之值
3 ) 梯度定义
- 向量G:称为函数f(P)在点P处的梯度(gradient), 记做:grad f
- 即 grad f=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)=∂x∂fi+∂y∂fj+∂z∂fk
- 同样可定义二元函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度 grad f=∂x∂fi+∂y∂fj=(∂x∂f,∂y∂f)
- 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影
- ∇=(∂x∂,∂y∂), 引用记号,称为奈布拉(Nebla)算符,或称为向量微分算子或哈密顿(W.R.Hamilton)算子
- 则梯度可记为:grad f=(∂x∂f,∂y∂f)∇f
- 函数f沿梯度grad f方向,增加最快(上升)
- 函数f沿负梯度 -grad f方向,减小最快(下降)
- grad f(x0,y0)=fx′(x0,y0)i+fy′(x0,y0)j)
- 或 ∇f(x0,y0)=fx′(x0,y0)i+fy′(x0,y0)j=fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)
- grad f=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)=∂x∂fi+∂y∂fj+∂z∂fk
- 或 ∇f(x0,y0,z0)={fx′(x0,y0,z0),fy′(x0,y0,z0),fz′(x0,y0,z0)}=fx′(x0,y0,z0)i+fy′(x0,y0,z0)j+fz′(x0,y0,z0)k
说明
- 以三元函数为例,设u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微分,则函数在该点的梯度为 grad f=∇f=∂x∂fi+∂y∂fj+∂z∂fk=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)=(∂(x,y,z)∂(f))
- 梯度是函数u=f(x,y,z)在点P处取得的最大方向导数的方向,最大方向导数为:∣grad f∣=(∂x∂f)2+(∂y∂f)2+(∂z∂f)2
- 函数u=f(x,y,z)在点P处沿方向l的方向导数:∂l∂f=grad f⋅l°=∇f⋅l°
例1
- 求grad x2+y21
- 解:
- 这里f(x,y)=x2+y21
- 因 ∂x∂f=−(x2+y2)22x,∂y∂f=−(x2+y2)22y
- 所以,grad x2+y21=−(x2+y2)22xi−(x2+y2)22yj
例2
- 设f(x,y,z)=x3−xy2−z, p(1,1,0).
- 问f(x,y,z)在p处沿什么方向变化最快,在这方向的变化率是多少?
- 解
- ∇f=fx′i+fy′j+fz′k=(3x2−y2)i−2xyj−k
- ∇f(1,1,0)=2i−2j−k
- 沿 ∇f(1,1,0) 方向,增加最快(上升)
- 沿 −∇f(1,1,0) 方向,增加最快(下降)
- max{∂l∂f∣p}=∣grad f∣=∣∇f(1,1,0)∣=3
- min{∂l∂f∣p}=−∣grad f∣=−∣∇f(1,1,0)∣=−3