【思维题】A014_LC_按位与为零的三元组（map 预处理 + 组合数学）

一、Problem

给定一个整数数组 A，找出索引为 (i, j, k) 的三元组，使得：

0 <= i < A.length
0 <= j < A.length
0 <= k < A.length
A[i] & A[j] & A[k] == 0，其中 & 表示按位与（AND）操作符。

输入：[2,1,3]
输出：12
解释：我们可以选出如下 i, j, k 三元组：
(i=0, j=0, k=1) : 2 & 2 & 1
(i=0, j=1, k=0) : 2 & 1 & 2
(i=0, j=1, k=1) : 2 & 1 & 1
(i=0, j=1, k=2) : 2 & 1 & 3
(i=0, j=2, k=1) : 2 & 3 & 1
(i=1, j=0, k=0) : 1 & 2 & 2
(i=1, j=0, k=1) : 1 & 2 & 1
(i=1, j=0, k=2) : 1 & 2 & 3
(i=1, j=1, k=0) : 1 & 1 & 2
(i=1, j=2, k=0) : 1 & 3 & 2
(i=2, j=0, k=1) : 3 & 2 & 1
(i=2, j=1, k=0) : 3 & 1 & 2

提示：

1 <= A.length <= 1000
0 <= A[i] < 2^16

二、Solution

方法一：map 预处理

思路

$O(n^3)$ 会超时；由于题目没有规定 i、j、k 的先后顺序，所以我们可以先用 map + $O(n^2)$ 来统计一遍 A 中每个二元组的按位与 & 结果

最后再用通过：遍历 map + 嵌套一层 $O(n)$ 循环将数字来组成三元组

class Solution {
public:
    int countTriplets(vector<int>& A) {
    	int n = A.size(), cnt = 0;
    	unordered_map<int, int> mp;

    	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			mp[A[i]&A[j]]++;
			
		for (auto& kv : mp)
    	for (int i = 0; i < n; i++)
   			if ((A[i] & kv.first) == 0)
            	cnt += kv.second;
		return cnt;
    }
};

但还是 25/25 的奇怪超时了，在想了一会，发现当 map 的 key 为 0 时，它可以和任意个数字按位与 & 得到结果 0，再由组合数学定理得：cnt += kv.first * n，故可以提前结束该次遍历

class Solution {
public:
    int countTriplets(vector<int>& A) {
    	int n = A.size(), cnt = 0;
    	unordered_map<int, int> mp;

    	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			mp[A[i]&A[j]]++;

        for (auto& kv : mp) {
            if (kv.first == 0) {
                cnt += kv.second * n;
            } else for (int i = 0; i < n; i++) if ((A[i] & kv.first) == 0) {
                cnt += kv.second;
            }
        }
		return cnt;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，
• 空间复杂度：$O(n)$，