【數位DP】入門學習詳解

數位DP

什麼是數位DP

數位DP是DP的一種，顧名思義，按每一個數位來進行DP。

什麼時候使用

題目的要求與一個數字相關，並且它能通過每一個數位來進行轉移。
例題：求所有n$n$ 位數中能被m$m$ 整除的數的個數。

怎麼使用

一般的DP是多維的，首先會有一維表示的是當前到了第幾位，通常情況這一維可以使用滾動。
其它的就是根據題目的實際要求了，如例題就需要一維來記錄除以m$m$ 的餘數。
以例題爲例，我們來講講數位DP怎麼實現。

狀態與轉移

我們設f[i][j]$f[i][j]$ 表示當前到了第i$i$ 位，除以m$m$ 的餘數爲j$j$ 的方案數。
一般是從高位往低位DP，因爲最高位不能爲0$0$ ，所以我們對i=1$i=1$ 的情況先處理好：

f[1][imodm]=1(1≤i≤9)$$f[1][i\mathrm{mod}m]=1(1\le i\le 9)$$

接着我們用第i$i$ 位的狀態去更新第i+1$i+1$ 位的狀態，每次枚舉當前在第i+1$i+1$ 位加入k$k$ 。
想想怎麼轉移？
對於當前的餘數j$j$ ，在末尾加入了k$k$ ，餘數變成什麼？
根據同餘的性質，我們自然可以得到：餘數變成了(j∗10+k)modm$(j\ast 10+k)\mathrm{mod}m$ 。
所以，狀態轉移方程如下：

f[i+1][(j∗10+k)modm]+=f[i][j](1≤i<n，0≤j<m，0≤k≤9)$$f[i+1][(j\ast 10+k)\mathrm{mod}m]+=f[i][j](1\le i<n，0\le j<m，0\le k\le 9)$$

最後的答案是什麼？
首先，第一維自然是n$n$ ，那麼第二維取什麼值呢？
顯而易見，要求是m$m$ 的倍數，所以第二維是0$0$ 。
綜上所述，最後的答案是f[n][0]$f[n][0]$ 。

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