【線性代數公開課MIT Linear Algebra】 第十一課 矩陣空間和秩1矩陣

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本系列筆記爲方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~

矩陣空間

和之前學習的空間差不多，我們把矩陣當做向量，矩陣空間也是在空間內對一個矩陣進行加法或者scalar後仍然在空間內。
對於一個在R3∗3 的矩陣空間，它的基如下：

很明顯矩陣M 可以有九個線性無關的元素，維數dimension爲9

一些子空間

對稱矩陣 symmetric

對於對稱矩陣，由於其對角線有三個線性無關元素，左上角的三個元素與右下角三個元素有線性關係，其維度dimension爲6

上三角 upper triangular

對角線以下全爲0，對角線以上6個元素可以線性無關，維度dimension爲6。

矩陣空間的交與和

對於對稱矩陣空間S和上三角矩陣空間U，其交集S∩U 的維數只有3
相對於S∪U,我們對S+U更感興趣 ，因爲S∪U是對二者的簡單疊加，我們更感興趣的是S+U，它包括疊加的部分和另外拓展的部分 ，其緯度爲9
引出性質：
dim(S)=6+dim(U)=6==dim(S∩U)=3+dim(S∪U)=9
如何理解矩陣空間？

對於這樣的微分方程，其有兩個特解方程，這二個就是解空間的基，方程就是矩陣。

秩1矩陣

爲什麼我們關注rank爲1的矩陣，因爲其爲矩陣最基本形式，也最爲簡單，是矩陣的基本組成元素

所有的秩1矩陣都可以表示爲一列乘以一行的形式,列就是其的基，行就是線性組合的係數。

秩1矩陣可以就像搭建其他矩陣的積木一樣，如果有5×17的矩陣，秩爲4，可以把這5×17的矩陣分解爲4個秩1矩陣的組合。

以上引言不知道爲什麼，求解。
之後的一些小問題看文末PS的博客鏈接
最後老師還引出了圖和矩陣的關係，編程的人應該都很熟悉，點邊關係可以有鄰接矩陣表示。
PS：更詳細的課堂筆記見另一位仁兄的筆記 http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13354503