【線性代數公開課MIT Linear Algebra】 第十八課 行列式的性質

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本系列筆記爲方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~

行列式 determinant

行列式最早是應用在用來判斷方程組是否有解，在矩陣被髮明後，行列式就擁有了更多的性質和應用。其強大之處在於將整個矩陣的信息壓縮到了一個值當中。

所以行列式的英文名爲determinant：決定因素，因爲他可以決定方程組是否有解即矩陣是否可逆，從另外一個角度來理解，行列式代表了這個矩陣的特徵，這是學習特徵分解的前置概念。

行列式的性質

老師在課上講解了行列式的性質，三個最基礎的性質：

1. det(I)=1 單位矩陣的行列式determinant爲1
2. 交換矩陣任意兩行，行列式的值取負
3. 行列式計算對於矩陣的行 而言是一種線性運算，例子：

這裏強調只對矩陣的行有效的原因在於：該運算對矩陣本身並非線性即det(A+B)!=det(A)+det(B)
其他的性質都可以由這三個最基礎的性質推導出來：
4. 當矩陣中有兩行相同時，其行列式爲0。（由2推導）
5. 第i行減去第j行的k倍(即我們在消元時進行的操作)，其行列式不變（由3推導）
6. 矩陣中有一行全部爲0，其行列式爲0.（由3推導，乘0係數）
7. 如果矩陣爲上三角或下三角，那麼行列式爲對角線上元素的積。（由3推導，可以化簡成出了對角線全是0）
8. 矩陣的行列式爲0是該矩陣不可逆的充分必要條件，行列式不爲0是該矩陣可逆的充分必要條件。（由7推導，我們消元的過程即LU分解，若可逆則LU中不存在全0的行，行列式不爲0）
9. det(AB)=det(A)det(B) （由7推導,A,B 都可以化爲上三角）
10. det(AT)=det(A) （由7推導,
     det(AT)=det(A)
⇒det((LU)T)=det(LU)
⇒det(UTLT)=det(LU)
⇒det(UT)det(LT)=det(L)det(U) ，顯而易見成立）

摧毀整門學科的性質

看看我們的性質2，交換兩行，行列式值取負，那麼，如果我交換7次或者10次之後得到矩陣本身，怎麼辦？！按理來說交換7次行列式取負，可我得到了它本身啊？自相矛盾啊怎麼辦？！於是整個學科廢了！然後老師就說其實permutation是有區分奇數次和偶數次的
我沒聽懂啊喂！！
我沒聽懂啊喂！！
我沒聽懂啊喂！！
什麼叫區分奇數次和偶數次啊？老師，我連怎麼交換7次得到本身都做不到啊！！！
求指導

PS：另一位仁兄的筆記
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13774227