【線性代數公開課MIT Linear Algebra】 第二十一課 特徵值與特徵向量

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本系列筆記爲方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~

何爲特徵向量、特徵值

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Ax 就好比f(x)，這是一種針對多維的操作，而我們關心的就是經過變換後方向不變的向量即Ax=λx ，x就是特徵向量，λ 就是特徵值。

我們的目的就是要找到矩陣A 的所有特徵值和對應的特徵向量，很自然的我們會關注存在λ 爲零的情況，此時要想特徵向量x 存在，那麼就等於要使得Ax=0 中的A 爲奇異矩陣Singular Matrix，反之，當A 爲奇異矩陣Singular Matrix，則0爲其中一個特徵值，特徵向量在其null space。

試試看不同矩陣有何特性吧，對於投影矩陣，很明顯在其column space中的vector的投影就是它自己，其方向不變，故存在特徵值爲1的特徵向量，還有一個什麼樣的向量？垂直於column space的，因爲垂直時投影爲0，存在特徵值爲0的特徵向量（垂直於column space）。

劇透關於特徵值的性質

n∗n 矩陣有n 個特徵值；特徵值的和等於矩陣對角線上所有元素的和，這被稱爲跡trace；特徵值的積等於行列式的值。

回到Ax=λx

Ax=λx
⇒(A−λI)x=0
⇒(A−λI)爲奇異矩陣
⇒det(A−λI)=0
這個方程就是求解特徵值的核心，有了方程我們就可以解出特徵值，有了特徵值就能求解對應的特徵向量。

好玩的性質

對於A 矩陣和A+3I 這個矩陣的特徵值和特徵向量有什麼特點？
Ax=λx 而 (A+3I)=λx+3x=(λ+3)x
所以特徵向量不變，特徵值加3，這或許從另一個角度幫助我們理解何爲“特徵”。

一些特殊的情況

這東西看起來沒有特徵向量，貌似我們找不到一個旋轉90度後是其本身的向量

看具體的方程，好吧，我們發現了，解居然是複數，這下麻煩了，現在要在線性代數引入複數啊！難怪老師說這裏會是問題的根源。
回過頭來觀察一下，你會發現越是接近對稱的矩陣，其值就越是傾向於實數，而越是接近反對稱的矩陣，其值就越是傾向於複數。

更糟糕的情況

老師說：這節課把所有麻煩的情況都講了，這樣我們下節課就可以開心了。哎，我們經歷了有解，看似無解實則有複數解，差一個看似有解結果解一樣和無解。老師講了一個有重複解：

這個情況下我們只能解出一個特徵向量，這樣的矩陣我們稱呼爲退化矩陣。

PS：另一位仁兄的筆記
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13998953