【線性代數公開課MIT Linear Algebra】 第二十課 行列式的應用

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本系列筆記爲方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~

求解逆矩陣

A−1=1det(A)CT ,其中CT 爲代數餘子式cofactors組成的矩陣的轉置。
要證明A−1=1det(A)CT ，即證明ACT=det(A)I

對角線上的值爲det(A) ，這很好理解，但是爲什麼其他位置的元素全是0呢？，我們觀察結果的第二行第一列，其值等於A 的第二行a21,a22...a2n 分別與c11,c12...c1n 相乘，這就像是把原本的矩陣中第一行變成同第二行一樣的值，然後求這個新的矩陣的行列式，明顯這個行列式的值爲0。（行列式的性質4，相關資料
http://blog.csdn.net/a352611/article/details/49746061）

克萊姆法則 Cramer′s Rule

老問題，這個法則是關於Ax=b 的公式：
Ax=b⇒x=A−1b=1det(A)CTb
關鍵在於CTb ，它影響了x 各個分量的值:

CTb 的各個分量很容易讓人想到行列式determinant，而克萊姆發現了B1,B2...Bn 這些矩陣的規律，其實我們這麼寫的時候也能纔出B 矩陣長什麼樣。

這樣的公式具有數學上的美感，我們可以知道x 每一個分量由哪些東西決定，就如果之前的求逆公式一樣，這二者都給我們帶來了純代數的表達式，但實際計算時我們不會去用他們，因爲計算量太大，不適合編程，消元法可以很好的解決問題，matlab就是用消元法來求解的。

行列式的幾何意義

如何從幾何理解行列式determinant？

首先我們把矩陣中的column vector畫在空間中，很明顯在N維空間裏面我們就有N個向量（方陣纔有行列式）

二維空間：

行列式determinant就是這個梯形的面積
三維空間：

行列式determinant就是這個長方體的體積
爲什麼？因爲求解行列式的過程可以理解爲用pivot消元的過程，行列式的值最終爲所有pivot的乘積，若所有的pivot不爲0即各個column vector線性無關，那麼我們最終會得到一個除了對角線上的pivot之外其他位置全部爲0的矩陣，這個矩陣的每一個column vector都相互垂直，實際上這些vector就是那些垂線，這些垂線的乘積就是我們所謂的面積、體積或者四維以上我叫不出名字的東西。這樣的東西看起來像個盒子有木有，老師也很形象的叫它box。

PS：另一位仁兄的筆記
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13883537