【opencv+python】圖像處理之二、幾何變換(仿射與投影)的原理

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寫在文章開始之前:
關於幾何變換,常見的資料都沒有把數學原理部分講透徹,基本都是照着課本說,導致我很多地方無法徹底理解.思前想後還是把這一塊分成兩個部分,一部分專門講數學,一部分專門講應用.本文爲數學原理部分。

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Geometry Transformation 幾何變換

對圖像的幾何變換本質上是一種線性變換,其數學本質爲
Inew=TIold

即通過變換矩陣T 將原圖上的點的位置Iold 變換到新的位置,從而得到新的圖像Inew

2D平面變換示意圖（”Computer Vision: Algorithms and Applications”, Richard Szeliski）
- Translation 平移
- Euclidean(rigid, rotation) 旋轉
- Scale 縮放;圖中沒有畫出
- Similarity 相似變換;結合旋轉,平移和縮放
- Affine 仿射變換;想象在similarity的基礎上用兩隻手對圖像進行按壓拉伸
- Projective 投影變換;想象投影儀做的事情,將一個面投影到另外一個面的情況

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Homogeneous coordinates 齊次座標

簡單的說法就是對於點P=[x;y]T 我們無從得知這是一個點還是向量，之所以糾結這個概念的原因在於：平移對於向量沒有意義，但對點有意義。我們希望對線性變換有一個統一的描述，結果發現在Homogeneous coordinates齊次座標下我們能夠和諧統一地描述這些。怎麼把一個點轉換到齊次座標下來描述呢？很簡單的一個方法是

直接將點P=[x;y]T 變爲P=[x;y;1]T
而向量P=[x;y]T 變爲P=[x;y;0]T

由於我們的變換矩陣是一個3x3的矩陣，最後一列的意義就是平移，這樣就實現平移對向量無效，也能讓線性變換統一寫爲Pnew=TPoldT 爲變換矩陣，最後還要從齊次座標轉換回我們的歐幾里得座標。
完整的Homogeneous coordinates概念請翻閱”Multiple View Geometry in computer vision”, Richard Hartley and Andrew Zisserman
平行線相交於一點

Scaling,Rotation,Translation 縮放、旋轉、平移

縮放 Scaling

T=[fx00fy]其次坐標下T=⎡⎣⎢fx000fy0001⎤⎦⎥

fx,fy 分別爲x方向和y方向的縮放係數

旋轉 Rotation

T=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)]其次坐標下T=⎡⎣⎢cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ)0001⎤⎦⎥

平移 Translation

只有齊次座標系下的表示

T=⎡⎣⎢100010txty1⎤⎦⎥

tx,ty 分別爲x方向和y方向的平移距離

Affine 仿射變換

T=⎡⎣⎢a0a30a1a40a2a51⎤⎦⎥

Perspective 投影變換

T=⎡⎣⎢H0H3H6H1H4H7H2H5H8⎤⎦⎥