三輪全向底盤運動學性能分析

速度分析

建立三輪底盤的速度物理學模型如圖所示。

其中v_1、v_2、v_3分別爲三個輪子的轉速，ω爲旋轉角速度，v_x、v_y爲車身座標系中的速度即相對速度（由於底盤速度性能與在世界座標系中的姿態無關，因此此處爲簡化運算，取車身座標系與世界座標系X,Y方向重合），a爲旋轉中心到輪軸心的垂直距離，θ爲輪軸與x軸夾角，θ=π/6。不難得出各輪速度的轉換矩陣爲：

⎡⎣⎢v1v2v3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢−1sinπ6sinπ60−cosπ6cosπ6aaa⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢vxvyω⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& a\\ \sin \frac{\pi }{6}& -cos\frac{\pi }{6}& a\\ \sin \frac{\pi }{6}& \cos \frac{\pi }{6}& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ \omega \end{array}\right]$$

記

vT=[v1v2v3]$${\mathbf{v}}^T=\left[\begin{array}{ccc}{v}_1& v_2& v_3\end{array}\right]$$

，

VT=[vxvyω]$${\mathbf{V}}^T=\left[\begin{array}{ccc}{v}_x& v_y& \omega \end{array}\right]$$

,轉換矩陣爲

R$$\mathbf{R}$$

，則有

vT=R VT$${\mathbf{v}}^T=\mathbf{R}{\mathbf{V}}^T$$

R−1vT= VT$${{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{v}}^T={\mathbf{V}}^T$$

即

⎡⎣⎢vxvyω⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢−23013a13−3√313a133√313a⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢v1v2v3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ \omega \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{2}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& -\frac{\sqrt{3}}{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ \frac{1}{3a}& \frac{1}{3a}& \frac{1}{3a}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right]$$

所以

Vmax=v2x+v2y−−−−−−√=49(v21+v22+v23−v1v2−v1v3−v2v3)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$$V_{max}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{\frac{4}{9}\left(v_1^2+v_2^2+v_3^2-v_1{v}_2-v_1{v}_3-v_2{v}_3\right)}$$

其中

{v1,v2,v3}∈[−vm,vm,]$$\{v_1,v_2,v_3\}\in \left[-v_{m,}{v}_{m,}\right]$$

。

又由不旋轉的條件可知

ω=13a(v1+v2+v3)=0$$\omega =\frac{1}{3a}\left(v_1+v_2+v_3\right)=0$$

即

v1+v2+v3=0$$v_1+v_2+v_3=0$$

由以上兩式，構造非線性規劃模型，用MATLAB求解得：

直線行走的最大速度

Vmax=2vm3–√$$V_{max}=\frac{{2v}_m}{\sqrt{3}}$$

各方向速度圖像：

分析可知，三輪底盤當沿着一個輪軸方向前進時，速度可取到平動的最大值

2vm3–√$$\frac{{2v}_m}{\sqrt{3}}$$

。

加速度分析

假設啓動階段驅動電機處於恆轉矩模式，即各輪驅動力恆定，建立三輪底盤的驅動力物理學模型如圖所示。

其中f_1、f_2、f_3分別爲三個輪子的驅動力，α爲角加速度，a_x、a_y爲車身座標系中的加速度即相對加速度（由於底盤速度性能與在世界座標系中的姿態無關，因此此處爲簡化運算，取車身座標系與世界座標系X,Y方向重合），a爲旋轉中心到輪軸心的垂直距離，θ爲輪軸與x軸夾角，θ=π/6。不難得出驅動力與加速度之間的轉換矩陣爲：

⎡⎣⎢axayα⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢−1m0aJ12m−3√2maJ12m3√2maJ⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢f1f2f3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ \alpha \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{m}& \frac{1}{2m}& \frac{1}{2m}\\ 0& -\frac{\sqrt{3}}{2m}& \frac{\sqrt{3}}{2m}\\ \frac{a}{J}& \frac{a}{J}& \frac{a}{J}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\\ f_3\end{array}\right]$$

利用與上述相同的方法，可以得到加速度在各個方向上的極值，如下圖：

因此，對三輪底盤來說，最大速度和最大加速度均發生在與一個輪軸重合的方向上。

非線性歸劃求極值MATLAB源碼