旋轉矩陣的推導過程

剛體變換

定義

一個映射g:$\R^3 \to \R^3$如果滿足一下兩個特性，則是剛體變換
1. 長度保持不變：$\Vert g(p)-g(q)=\Vert p-q\Vert$, 所有$p,q\in\R^3$
2. 叉乘保持不變：$g_*(v×w)=g_*(v)×g_*(w)$，所有向量$v,w\in\R^3$

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旋轉矩陣

A座標系

$X_A=[1\ 0]^T$
$Y_A =[0\ 1]^T$

在A座標系下的B座標系

$X_B=cos\theta \|X_A\|X_A+sin\theta\|X_A\| Y_A=[cos\theta \ 0 \ 0]^T+[0\ sin\theta\ 0]^T=[cos\theta \ sin\theta \ 0]^T$
$Y_B=-sin\theta \|Y_A\|X_A+cos\theta \|Y_A\|Y_A=[-sin\theta \ 0 \ 0]^T+[0\ cos\theta\ 0]^T=[-sin\theta \ cos\theta \ 0]^T$

構造矩陣

將$X_B\ Y_B$放到一個矩陣裏$R_{ab}=[X_B \ Y_B]$,將之稱爲旋轉矩陣

意義

將一個點的座標值在不同的基底下進行變換
P點在B座標系下爲$P_B(a,b)$，可以進行一下變換
$P=[X_B\ Y_B]\begin{bmatrix} a \\b\\ \end{bmatrix}\\ \ \ \ \ =aX_B+bY_B \\ \ \ \ \ =(cos\theta X_A+sin\theta Y_A)a+(-sin\theta X_A+cos\theta Y_A)b\\ \ \ \ \ =[X_A\ Y_A]\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\b \\ \end{bmatrix}\\ \ \ \ \ =[X_A\ Y_A]R_{ab}\begin{bmatrix} a \\b \\ \end{bmatrix}$
可以看到，我們把基底從$[X_B\ Y_B]$換成了$[X_A\ Y_A]$，也就是同一個點，在B座標系下的座標爲$[a \ b]^T$,在A座標系下的座標爲$R[a \ b]^T$,可以理解爲是空間中同一個點在不同的座標系中（座標系旋轉了）的表示，也可以理解爲同一個座標系下，是點在運動（假設座標系沒動，那麼動的就是點）。

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平移變換

剛體變換除了旋轉外還有平移運動，假設變換後的座標系B的原點在原來座標系A下爲$P_{AB}=[x_1 \ y_1]^T$則
$P_A=R_{AB}P_B+P_{AB}$
結合以上的推導，我們可以將剛體變換寫成齊次座標的形式
$P_A=\begin{bmatrix} R_{AB} & P_{AB}\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} P_{B} \\ 1\end{bmatrix}$

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以上的推導同樣可以拓展到三維空間裏

繞Z軸旋轉的旋轉矩陣

$R_Z(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta &0\\ sin\theta & cos\theta & 0 \\0&0&1\end{bmatrix}$

繞Y軸旋轉的旋轉矩陣

$R_Y(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta &0& sin\theta \\ 0&1&0\\ -sin\theta &0& cos\theta \end{bmatrix}$

繞X軸旋轉的旋轉矩陣

$R_X(\theta)=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&cos\theta&-sin\theta \\0&sin\theta&cos\theta\end{bmatrix}$