數學基礎知識 ——（1）高等數學

一 、導數

1.1 導數定義：

導數和微分的概念

$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$

或者：

$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$

1.2 左右導數導數的幾何意義和物理意義

函數$f(x)$在$x_0$​處的左、右導數分別定義爲：
左導數: $f^{\prime}_{-}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}},\left(x=x_{0}+\Delta x\right)$

右導數: $f^{\prime}_{+}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$

1.3 函數的可導性與連續性之間的關係

• Th1: 函數 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 處可微 $\Leftrightarrow f(x)$ 在 $x_{0}$ 處可導
• Th2: 若函數在點$x_{0}$ 處可導，則 $y=f(x)$ 在點 $x_{0}$ 處連續, $,$ 反之則不成立。即函數連續不一定可導。
• Th3: $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 存在$\Leftrightarrow$$f^{\prime}_{-}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}_{+}\left(x_{0}\right)$
  
  如上圖所示，函數連續但不可導。且x=0處左右導數不相等。

1.4 四則運算法則

設函數 $u=u(x), v=v(x)$ )在點 $x$ 可導則

• $(1)(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime}$
• $(2)(u v)^{\prime}=u v^{\prime}+v u^{\prime}$
• $(3)\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{v u^{\prime}-u v^{\prime}}{v^{2}}(v \neq 0)$

1.5 基本導數與微分表

$y=c$ (常數)	$y^{\prime}=0$
$y=x^{\alpha}(\alpha \text { 爲實數 })$	$y^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}$
$y=a^{x}$	$y^{\prime}=a^{x} \ln a$ 特例：$\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}$
$y=\log _{a} x$	$y^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$ 特例：$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$
$y=\sin x$	$y^{\prime}=\cos x$
$y=\cos x$	$y^{\prime}=-\sin x$
$y=\tan x$	$y^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=\sec ^{2} x$
$y=\cot x$	$y^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x}=-\csc ^{2} x$
$y=\sec x$	$y^{\prime}=\sec x \tan x$
$y=\csc x$	$y^{\prime}=-\csc x \cot x$
$y=\arcsin x$	$y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$y=\arccos x$	$y^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$y=\arctan x$	$y^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$
$y=\operatorname{arccot} x$	$y^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}$
$y=s h x$	$y^{\prime}=c h x$
$y=c h x$	$y^{\prime}=s h x$

1.6 複合函數，反函數，隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法

(1) 反函數的運算法則: 設 $y=f(x)$ 在點 $x$ 的某鄰域內單調連續, 在點 $x$ 處可導且 $f^{\prime}(x) \neq 0,$ 則其反函數在點 $x$ 所對應的 $y$ 處可導, 並且有 $\frac{d y}{d x}=\frac{1}{d x}$
(2) 複合函數的運算法則：若 $\mu=\varphi(x)$ 在點 $x$ 可導,而 $y=f(\mu)$ 在對應點 $\mu(\mu=\varphi(x))$ 可導,則複合函數 $y=f(\varphi(x))$ 在點 $x$ 可導,且 $y^{\prime}=f^{\prime}(\mu) \cdot \varphi^{\prime}(x)$
(3) 隱函數導數 $\frac{d y}{d x}$ 的求法一般有三種方法：

• 1)方程兩邊對x求導，要記住y是x的函數, 則y的函數是x的複合函數.例如 $\frac{1}{y}, y^{2}, \ln y, e^{y}$ 等均是 $x$ 的複合函數. 對 $x$ 求導應按複合函數連鎖法則做.

• 2 ) 公式法.由 $F(x, y)=0$ 知 $\frac{d y}{d x}=-\frac{F^{\prime} x(x, y)}{F^{\prime} y(x, y)}$ 其中, $F_{x}^{\prime}(x, y), F_{y}^{\prime}(x, y)$ 分別表示 $F(x, y)$ 對 $x$ 和 $y$ 的偏導數

• 3)利用微分形式不變性，參考複合函數求導

1.7 常用高階導數公式

$\left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x} \ln ^{n} a \quad(a>0) \quad\left(e^{x}\right)^{(n)}=e^{x}$

$(\sin k x)^{(n)}=k^{n} \sin \left(k x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$

$(\cos k x)^{(n)}=k^{n} \cos \left(k x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$

$\left(x^{m}\right)^{(n)}=m(m-1) \cdots(m-n+1) x^{m-n}$

$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{(n-1)} \frac{(n-1) !}{x^{n}}$

萊布尼茲公式：若 $u(x), v(x)$ 均 $n$ 階可導, 則 $(u v)^{(n)}=\sum_{i=0}^{n} c_{n}^{i} u^{(i)} v^{(n-i)},$ 其中 $u^{(0)}=u, v^{(0)}=v$

二、 微分中值定理 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$

微分中值定理是一系列中值定理總稱

2.1 費馬定理

若函數 $f(x)$ 滿足條件：
(1) 函數 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某鄰域內有定義, 並且在此鄰域內恆有 $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$ 或 $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$
(2) $f(x)$ 在 $x_{0}$ 處可導,則有 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$

2.2 羅爾定理

設函數 $f(x)$ 滿足條件：
(1)在閉區間[ $(a, b]$ 上連續;
(2)在 $(a, b)$ 內可導;
(3) $f(a)=f(b)$
則在 $(a, b)$ 內一存在個$\xi$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$

羅爾定理其實就是拉格朗日中值定理的一種特例

2.3 拉格朗日中值定理

設函數 $f(x)$ 滿足條件：
(1)在 $[a, b]$ 上連續
(2)在 $(a, b)$ 內可導;
則在 $(a, b)$ 內一存在個$\xi$ 使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(\xi)$
這個定理的幾何意義就是，至少存在一點的切線與端點的連線平行；物理意義是，至少存在一點的速度與平均速度相等

2.4 柯西中值定理

設函數 $f(x), g(x)$ 滿足條件:
(1) 在$[a, b]$ 上連續;
(2) 在 $(a, b)$ 內可導且$f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$ 均存在, 且 $g^{\prime}(x) \neq 0$

則在 $(a, b)$ 內存在一個 $\xi$使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$

幾何意義： https://zhuanlan.zhihu.com/p/47436090

三、 極限

3.1 洛必達法則

法則 I ( $\frac{0}{0}$ 型):設函數 $f(x), g(x)$ 滿足條件:
$\quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=0$
$\left.f(x), g(x) \text { 在 } x_{0} \text { 的鄰域內可導, } \text { (在 } x_{0} \text { 處可除外) }\right)$ 且 $g^{\prime}(x) \neq 0;\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$存在（或等於$\infty$）

則: $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$

法則 $I^{\prime}(\frac{0}{0})$型 設函數$f(x),g(x)$滿足條件：
$\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=0$
存在一個$X>0$,當$|x|>X$時,$f(x), g(x)$ 可導,且$g^{\prime}(x) \neq 0 ; \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$存在(或等於$\infty$)。

則：$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$

法則$\Pi\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$型設函數$f(x),g(x)$滿足條件：
$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=\infty$.
$f(x),g(x)$在${x}_{0}$​ 的鄰域內可導(在${x}_{0}$​處可除外)且$g^{\prime}(x) \neq 0 ; \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$存在(或等於$\infty$)。

則：$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ .

同理法則$\Pi^{\prime}\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$型可以仿照法則$I^{\prime}(\frac{0}{0})$型寫出

四、 泰勒公式

4.1 一般形式

設函數$f(x)$在點${x}_{0}$​處的某鄰域內具有$n+1$階導數，則對該鄰域內異於${x}_{0}$的任意點$x$，在${x}_{0}$​與$x$之間至少存在一個$\xi$，使得：
$f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)$

其中$R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}$
稱爲$f(x)$在點${x}_{0}$​處的$n$階泰勒餘項。

4.2 麥克勞林公式

令${x}_{0}=0$，則$n$階泰勒公式變爲麥克勞林公式爲：
$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}(0) x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+R_{n}(x)$

其中 $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} x^{n+1}$，$\xi 在0與x$之間.

4.3 常用五種函數在${x}_{0}=0$處的泰勒公式

（1）$e^{x}=1+x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} x^{n}+\frac{x^{n+1}}{(n+1) !} e^{\xi}$

或 $=1+x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} x^{n}+o\left(x^{n}\right)$

（2）$\sin x=x-\frac{1}{3 !} x^{3}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !} \sin \frac{n \pi}{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1) !} \sin \left(\xi+\frac{n+1}{2} \pi\right)$

或 $=x-\frac{1}{3 !} x^{3}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !} \sin \frac{n \pi}{2}+o\left(x^{n}\right)$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !} \cos \frac{n \pi}{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1) !} \cos \left(\xi+\frac{n+1}{2} \pi\right)$

或 $=1-\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !} \cos \frac{n \pi}{2}+o\left(x^{n}\right)$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+\frac{(-1)^{n} x^{n+1}}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}}$

或 $=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+o\left(x^{n}\right)$

(5) $(1+x)^{m}=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{m(m-1) \cdots(m-n+1)}{n !} x^{n}+\frac{m(m-1) \cdots(m-n+1)}{(n+1) !} x^{n+1}(1+\xi)^{m-n-1}$

或 $(1+x)^{m}=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^{2}+\cdots,+\frac{m(m-1) \cdots(m-n+1)}{n !} x^{n}+o\left(x^{n}\right)$

五、曲線相關公式

5.1 平面曲線的切線和法線公式

切線方程 $: y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$

法線方程: $y-y_{0}=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}\left(x-x_{0}\right), f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$

5.2 漸近線的求法

水平漸近線
若$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b,$
或 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b$
則$y=b$稱爲函數$y=f(x)$的水平漸近線。

鉛直漸近線
若$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }},f(x)=\infty$，或$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }},f(x)=\infty$
則$x={{x}_{0}}$稱爲$y=f(x)$的鉛直漸近線。

斜漸近線
若 $a=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-a x]$
則$y=ax+b$稱爲$y=f(x)$的斜漸近線

5.3 求曲線長度（弧微分）

$d S=\sqrt{1+y^{\prime 2}} d x$

5.4 曲率

曲線$y=f(x)$在點$(x,y)$處的曲率$k=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$.
對於參數方程

5.5 曲率半徑

曲線在點M處的曲率$k(k≠0)$與曲線在點M處的曲率半徑$\rho$有如下關係：$\rho =\frac{1}{k}$。

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