線性代數Review

線性代數Review

多元函數極值

• 運籌學正好遇到，各階偏導爲0之後還要看泰勒展開的高階項，（當首個非零爲 奇數/偶數 階）

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二次型

• 二次型的定義(只有二階的項)
• $V$(任意域$F$上的線性空間)與$F^n$(n維向量空間)之間由一組基建立 同構映射
• 兩組基之間的 過度矩陣$P$: (新基=舊基 * P, 新基表示爲舊的的線性組合,右邊乘是因爲是列變換(列的線性組合,這裏基是列向量) )
  $(\beta_1,...,\beta_2) = (\alpha_1,...,\alpha_2)P$
  兩組基下的 座標變換公式 => : ) 舊的座標=P * 新的座標[unknow],(這裏座標都是列向量,**左邊乘是行變換,行的線性組合) )
  $X = P Y$
• 二次型的標準型 (變量的平方和形式,有加有減)
• 定理: 任何二次型可以配方法化爲標準型,通過一可逆線性變換
• 配方法在沒有平方項時要先代換出平方項
• 二次型的規範型(加減平方項的係數都是1)
• 二次型的幾何
• 一個對稱方陣就對應一個二次型 !!!

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對稱方陣的相合

• 定義 :二次型的矩陣(對稱陣)
• 定義: 對於n階方陣A,B, 存在n階可逆方陣$P$, 使得 $B= P^T AP$,則A,B相合
• 相合可以傳遞
• 對稱方陣相合的仍然是對稱方陣,反對稱類似
• 有限維度線性空間上的一個二次型在兩個不同基下的矩陣是相合的.
  二次型裏面的$x_i ,y_i ,z_i$之類的,就是代表在一組基裏面各個基元的係數值,即 xyz變量代表某組基下的座標變量
  可以認爲是一個n維幾何圖形在該基下的方程的係數
• 對稱方陣的相合對角化算法$A= (S , I)$,行變化,列變換 最終 $I => P$
• 對任何n階對稱方陣,存在n階可逆方陣P,使 爲對角陣,且對角元可以按任意順序排列!
• 對於實數域上的任意n階對稱方陣$S$,存在n階實可逆方陣$P$:
  $P^T SP = diag(I_{(p)},-I_{(q)},O_{(n-p-q)})$ 其中$p+q = rank(S)$
  上面式子稱爲 實對稱陣 的 相合規範型

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未完待續