原函數與反函數的關係

反函數與原函數的關係
反函數的定義域與值域分別是原來函數的值域與定義域；函數的反函數，本身也是一個函數；偶函數必無反函數；奇函數如果有反函數，其反函數也是奇函數。
什麼是原函數

已知函數f(x)是一個定義在某區間的函數，如果存在可導函數F(x)，使得在該區間內的任一點都有dF(x)=f(x)dx，則在該區間內就稱函數F(x)爲函數f(x)的原函數。
例如：sinx是cosx的原函數。

什麼是反函數

一般來說，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等於x，這樣的函數x=g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作y=f^{-1(x)。反函數y=f}-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數。

一般地，如果x與y關於某種對應關係f（x）相對應，y=f（x），則y=f（x）的反函數爲x=f(y)或者y=f^-1（x）。存在反函數(默認爲單值函數）的條件是原函數必須是一一對應的（不一定是整個數域內的）。注意：上標"−1"指的是函數冪，但不是指數冪。

反函數與原來函數關係

①函數的反函數，本身也是一個函數，由反函數的定義，原來函數也是其反函數的反函數，故函數的原來函數與反函數互稱爲反函數。

②反函數的定義域與值域分別是原來函數的值域與定義域。

③只有確定函數的映射是一一映射的函數才存在反函數，由此得出下面4點：

④偶函數必無反函數。

⑤單調函數必有反函數。

⑥奇函數如果有反函數，其反函數也是奇函數。

⑦原函數與其反函數在他們各自的定義域上單調性相同。

⑧互爲反函數的圖象間的關係。

函數y=f(x)的圖象和它的反函數y=f-1(x)的圖象關於直線y＝x對稱。