矩陣分析(一)：Hermitian矩陣、二次型與正定矩陣

1. Hermitian矩陣

Hermitian矩陣爲滿足${\bf A}^{\rm H}={\bf A}$的正方復矩陣，或稱爲複共軛對稱矩陣。

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2. 矩陣的二次型

任意一個正方矩陣${\bf A}$的二次型定義爲${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}$，其中${\bf x}$可以是任意的非零復向量。

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3.正定矩陣

一個Hermitian矩陣${\bf A}$被稱爲：
（1）正定矩陣，記作${\bf A\succ0}$，若二次型${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}>0$，$\forall{\bf x}\ne{\bf 0}$；
（2）半正定矩陣，記作${\bf A\succeq0}$，若二次型${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}\ge0$，$\forall{\bf x}\ne{\bf 0}$（也稱非負定）；
（3）負定矩陣，記作${\bf A\prec0}$，若二次型${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}<0$，$\forall{\bf x}\ne{\bf 0}$；
（4）半負定矩陣，記作${\bf A\preceq0}$，若二次型${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}\le0$，$\forall{\bf x}\ne{\bf 0}$（也稱非正定）；
（5）不定矩陣，若二次型${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}\le0$既可能取正值，也可能取負值。