標準DH建模與改進DH建模

standard_DH

   根據DH表示法確定一個一般步驟爲每個關節指定參考座標系，然後確定如何實現任意兩個相鄰座標系之間的變換，最後寫出機器人的總變換矩陣。如圖所示表示了三個順序關節和兩個連桿，每個關節都是可以轉動和平移的。第一個關節指定爲關節i-1，第二個關節指定爲關節i，第三個關節指定爲關節i+1。在這些關節前後可能還有其他關節，連桿也是如此表示，連桿i位於關節i與關節i+1之間。
1、standard_DH建立每個關節參考座標系步驟：
（1）所有關節，無一例外用z軸表示。如果是關節是旋轉的，z軸位於按右手定則選裝的方向，如果關節是滑動的，z軸爲沿實現運動的方向。在每一種情況下，關節i處的z軸（以及該關節的本地參考座標系）的下標爲i-1。
（2） 通常關節不一定平行或相交。因此，通常z軸是斜線，但是總有一條距離最短的公垂線，它正交於任意兩條斜線。通常在公垂線方向上定義x軸。所以如果$a_i$表示$z_{i-1}$與$z_i$之間的公垂線，則$x_i$的方向沿$a_i$。
（3）如果兩個關節的z軸平行，選取與前一關節的公垂線共線的一條公垂線，可簡化模型；如果兩個相鄰關節的z軸是相交的，那麼它們之間沒有公垂線，可選取兩條z軸的叉積2方向作爲x軸，可簡化模型。
  $\theta$角表示繞z軸旋轉角，d表示在z軸上兩條相鄰的公垂線之間的距離，a表示每一條公垂線的長度，角$\alpha$表示兩個相鄰的z軸之間的角度。

2、standard_DH建模步驟：
（1）繞$z_{i-1}$軸旋轉$\theta_i$，它使得$x_{i-1}$和$x_{i}$互相平行；
（2）沿$z_{i-1}$軸平移$d_{i}$距離，使得$x_{i-1}$和$x_{i}$共線；
（3）沿$x_{i}$軸平移$a_{i}$距離，使得$x_{i-1}$和$x_{i}$的原點重合；
（4）將$z_{i-1}$軸繞$x_{i}$旋轉$a_{i}$，使得$z_{i-1}$軸與$z_{i}$軸對準。
  通過右乘四個運動的四個矩陣就可以得到變換矩陣$^{i-1}T_i$：
$\begin{aligned}^{i-1}T_i=Rot(z_{i-1},\theta_i)\times Trans((z_{i-1},d_i)\times Trans((x_{i},a_i)\times Rot(x_{i},\alpha_i)\end{aligned}$

$^{i-1}T_i=\begin{bmatrix} c\theta_i&-s\theta_i&0&0\\s\theta_i&c\theta_i&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_i\\0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&a_i\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&c\alpha_i&-s\alpha_i&0\\0&s\alpha_i&c\alpha_i&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

$^{i-1}T_i=\begin{bmatrix} c\theta_i&-s\theta_i c\alpha_i&s\theta_i s\alpha_i&a_i c\theta_i\\s\theta_i&c\theta_i c\alpha_i&-c\theta_i s\alpha_i&a_i s\theta_i\\0&s\alpha_i&c\alpha_i&d_i\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

modified_DH

1、modified_DH建立每個關節參考座標系步驟：
（1）找出關節軸i和i+1之間的公垂線或關節軸i和i+1的交點，以關節軸i和i+1的交點或公垂線與關節軸i的交點作爲連桿座標系｛i｝的原點；
（2）規定$z_i$軸沿關節軸i的指向；
（3）規定$x_i$軸沿公垂線的指向，如果關節軸i和i+1相交，則規定$x_i$垂直於關節軸i和i+1所在平面。
（4）按照右手定則確定$y_i$軸

2、modified_DH建模步驟：
（1）$a_i$=沿$x_i$軸，從$z_i$移動到$z_{i+1}$的距離；
（2）$\alpha_i$=繞$x_i$軸，從$z_i$旋轉到$z_{i+1}$的角度；
（3）$d_i$=沿$z_i$軸，從$x_{i-1}$移動到$x_{i}$的距離；
（4）$\theta_i$=沿$z_i$軸，從$x_{i-1}$旋轉到$x_{i}$的角度；
  變換矩陣可以寫成：
$\begin{aligned}^{i-1}T_i=R_X(\alpha_{i-1})\times D_X(a_{i-1})\times R_Z(\theta_{i})\times D_Z(d_{i})\end{aligned}$

$^{i-1}T_i=\begin{bmatrix} c\theta_i&-s\theta_i &0&a_{i-1} \\s\theta_i c\alpha_{i-1}&c\theta_i c\alpha_{i-1}&-s\alpha_{i-1}&-s\alpha_{i-1}d_i \\s\theta_i s\alpha_{i-1}&c\theta_i s\alpha_{i-1}&c\alpha_{i-1}&c\alpha_{i-1}d_i\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

SDH與MDH比較

（1）固連座標系不同
SDH方法關節i上固連的是i-1座標系，即座標系建在連桿的輸出端；MDH關節i上固連的是i座標系，即座標系建在連桿的輸入端。
（2）座標系變換順序不同
SDH方法是ZX類變換：先繞着i-1座標系的的Zi-1軸旋轉和平移，再繞着座標系i的Xi軸進行旋轉和平移；MDH方法是XZ類變換：先繞着i座標系的的Xi軸旋轉和平移，再繞着座標系i的Zi軸進行旋轉和平移；