姿態的三種描述方式——歐拉角、軸角、四元數

歐拉角

  旋轉矩陣對於座標系的描述是冗餘的。旋轉矩陣用了9個元素來描述姿態，而事實上，由正交性條件帶來6個約束，這9個元素之間不是獨立的，而是相關的。這就意味着，只要三個參數就能描述一個剛體在空間中的姿態。
（1）X-Y-Z固定角座標系
  先將{B}繞{A}的X軸旋轉$\gamma$，然後繞{A}的Y軸旋轉$\beta$，最後繞{A}的Z軸旋轉$\alpha$，每個旋轉都是繞着固定參考座標系{A}的軸。
${^A_B}R_{XYZ}(\gamma,\beta,\alpha)=R_Z(\alpha)R_Y(\beta)R_X(\gamma)=\begin{bmatrix} c\alpha c\beta & c\alpha s\beta s\gamma -s\alpha c\gamma & c\alpha s\beta c\gamma +s\alpha s\gamma\\ s\alpha s\beta & s\alpha s\beta s\gamma +c\alpha c\gamma & s\alpha s\beta c\gamma -c\alpha s\gamma\\ -s\beta& c\beta s\gamma & c\beta c\gamma \end{bmatrix}$
當已知一個旋轉矩陣，可以通過以下計算其X-Y-Z固定角座標系
${^A_B}R_{XYZ}(\gamma,\beta,\alpha)=\begin{bmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}\\r_{31}&r_{32}&r_{33}\end{bmatrix}$

$\begin{aligned} \beta=Atan2(-r_{31},\sqrt{r^2_{11}+r^2_{21}}) \\ \alpha=Atan2(r_{21}/c\beta,r_{11}/c\beta)\\ \gamma=Atan2(r_{32}/c\beta,r_{33}/c\beta) \end{aligned}$

如果$\beta=\pm90^\circ$，在這種情況下，僅能求出$\alpha$和$\gamma$的和或差。在這種情況下一般取$\alpha$=0.0，結果如下：當$\beta=90^\circ$，解得：

$\begin{aligned} \beta=90^\circ \\ \alpha=0\\ \gamma=Atan2(r_{12},r_{2}) \end{aligned}$

當$\beta=-90^\circ$，解得：

$\begin{aligned} \beta=-90^\circ \\ \alpha=0\\ \gamma=-Atan2(r_{12},r_{2}) \end{aligned}$
（2）Z-Y-X歐拉角
假設開始兩個座標系重合，先將{B}繞自身的Z軸旋轉$\alpha$，然後繞Y軸旋轉$\beta$，最後繞X軸旋轉$\gamma$，就能旋轉到當前姿態。稱其爲Z-Y-X歐拉角，由於是繞自身座標軸進行旋轉，則旋轉矩陣爲：
${^A_B}R_{Z\prime Y\prime X\prime}(\gamma,\beta,\alpha)=R_Z(\alpha)R_Y(\beta)R_X(\gamma)=\begin{bmatrix} c\alpha c\beta & c\alpha s\beta s\gamma -s\alpha c\gamma & c\alpha s\beta c\gamma +s\alpha s\gamma\\ s\alpha s\beta & s\alpha s\beta s\gamma +c\alpha c\gamma & s\alpha s\beta c\gamma -c\alpha s\gamma\\ -s\beta& c\beta s\gamma & c\beta c\gamma \end{bmatrix}$
由旋轉矩陣得出Z-Y-X歐拉角的方法與上述X-Y-Z固定角座標系計算過程相同，在此不再推導。

軸角

  繞空間中某一軸旋轉指定角度，可以採用4個參數進行表示。令r爲關於參考座標系O-xyz的旋轉軸的單位向量。爲了表示繞軸r旋轉角度$\theta$的旋轉矩陣$R(\theta,r)$，方便的做法是對繞參考座標系的座標軸的基本旋轉進行合成。
  於是發現相應於給定角度和軸的旋轉矩陣爲：
$R(\theta,r)=\begin{bmatrix} r{^2_x}(1-c\theta)+c\theta & r_x r_y(1-c\theta)-r_zs\theta &r_xr_z(1-c\theta)+r_ys\theta \\ r_x r_y(1-c\theta)+r_zs\theta & r{^2_y}(1-c\theta)+c\theta & r_y r_z(1-c\theta)-r_xs\theta \\ r_xr_z(1-c\theta)-r_ys\theta& r_y r_z(1-c\theta)+r_xs\theta & r{^2_z}(1-c\theta)+c\theta \end{bmatrix}$
  如果需要計算逆解以計算相應於如下給定旋轉矩陣的軸和角度：
$R=\begin{bmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}\\r_{31}&r_{32}&r_{33}\end{bmatrix}$

$\begin{aligned} \theta=arccos(\frac{r_{11}+r_{22}+r_{33}-1}{2})\\ r=\frac{1}{2sin\theta}\begin{bmatrix} r_{32}-r_{23}\\ r_{13}-r_{31}\\ r_{21}-r_{12}\end{bmatrix} \end{aligned}$
注意：當$\theta=0或pi$單位向量任意是奇異的。

四元數

  軸角的表達式的不足可以通過一個不同的四參數表達式加以克服，即單位四元數，定義爲：Q=｛$\eta$，$\varepsilon$｝，其中：
$\begin{aligned}\varepsilon=cos \frac{\theta}{2}\\ \varepsilon=sin \frac{\theta}{2}r\end{aligned}$

$\begin{aligned}\eta^2+\varepsilon{^2_x}+\varepsilon{^2_y}+\varepsilon{^2_z}=1\end{aligned}$

  相應於給定四元數的旋轉矩陣有以下形式：
$R(\theta,r)=\begin{bmatrix} 2(\eta^2+\varepsilon{^2_x}) -1& 2(\varepsilon_x\varepsilon_y-\eta\varepsilon_z)& 2(\varepsilon_x\varepsilon_z+\eta\varepsilon_y)\\ 2(\varepsilon_x\varepsilon_y+\eta\varepsilon_z) & 2(\eta^2+\varepsilon{^2_y}) -1& 2(\varepsilon_y\varepsilon_z-\eta\varepsilon_x) \\ 2(\varepsilon_x\varepsilon_z-\eta\varepsilon_y)& 2(\varepsilon_y\varepsilon_x) &2(\eta^2+\varepsilon{^2_z}) -1\end{bmatrix}$

  如果需要計算逆解以計算相應於如下給定旋轉矩陣的四元數：

$R=\begin{bmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}\\r_{31}&r_{32}&r_{33}\end{bmatrix}$

$\begin{aligned}\varepsilon= \frac{1}{2}\sqrt{r_{11}+r_{22}+r_{33}+1}\end{aligned}$

$\varepsilon=\begin{bmatrix} sgn(r_{32}-r_{23}) \sqrt{r_{11}-r_{22}-r_{33}+1}\\ sgn(r_{13}-r_{31}) \sqrt{r_{22}-r_{33}-r_{11}+1}\\sgn(r_{21}-r_{12}) \sqrt{r_{33}-r_{11}-r_{22}+1}\end{bmatrix}$

  其中，當$x\geq0$時sgn(x)=1；當x<0時，sgn(x)=-1；與軸角逆解相比，沒有奇點現象。