機器人座標系——工具座標、用戶座標系標定

座標系變換方程

   如果有n個未知變換和n個變換方程，這個變換可由變換方程解出。例如：圖1中變換${^B_T}T$描述了操作臂指向的座標系{T}，它是相對於操作臂基座的座標系{B}的，又已知工作臺相對於操作臂基座的空間位置${^B_S}T$，並且已知工作臺上螺栓的座標系相對於工作臺座標系的位置，即${^S_G}T$，計算螺栓相對於操作手的位置，${^T_G}T$。

   由公式推導，得到相對於操作手座標系的螺栓座標系爲：${^T_G}T$=${^B_T}T^{-1}$${^B_S}T$ ${^S_G}T$

基座標系｛B｝

  基座標系｛B｝位於操作臂的基座上。它僅是賦予座標系｛0｝的另一個名稱。

工具座標系｛T｝

  工具座標系｛T｝附於機器人所夾持的工具末端。
工具座標系6點法標定：
  機器人末端座標系 ｛E｝相對於機器人基座標系｛B｝的變換關係爲${^B_E}T$; 工具座標系 ｛T｝相對於末端座標系 ｛E｝的變換關係爲${^E_T}T$; 工具座標系 ｛T｝相對於基座標 ｛B｝的變換關係爲${^B_T}T$; 三者的轉換關係爲：${^B_E}T$ $\cdot$ ${^E_T}T$ =${^B_T}T$
  採用四點法標定TCP如圖所示,標定 TCP的4個位置，4 點之間各差90度且不能在一個平上。${^B_E}R_i$分別爲機器人末端座標系 4 個點的旋轉矩陣；${^B}P_{Ei}$分別爲機器人末端座標系 4 個點的位置矢量; ${^B_T}R$爲工具的旋轉矩陣;${^E}P_{T}$爲工具的位置矢量;${^B_T}R_i$分別爲工具座標系末端4個點的旋轉矩陣;${^B}P_{T}$爲工具座標系末端的位置矢量。因 4 個不同位姿下工具座標系在基座標系的位置不變，即${^B}P_{Tx}$，${^B}P_{Ty}$，${^B}P_{Tz}$爲定值；${^E_T}R$，${^E}P_{T}$各個參數不變也爲定值。

可以得到：

$\begin{bmatrix} {^B_T}R_1- {^B_T}R_2\\ {^B_T}R_2- {^B_T}R_3\\{^B_T}R_3- {^B_T}R_4\\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} {^E}P_{Tx} \\{^E}P_{Ty}\\{^E}P_{Tz}\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {^B}P_{Ex2}- {^B}P_{Ex1}\\ {^B}P_{Ey2}- {^B}P_{Ey1}\\{^B}P_{Ez2}- {^B}P_{Ez1}\\{^B}P_{Ex3}- {^B}P_{Ex2} \\ \vdots\\{^B}P_{Ez4}- {^B}P_{Ez3} \end{bmatrix}$

  式中包含 ${^E}P_{x}$，${^E}P_{y}$，${^E}P_{z}$ 3個未知量，係數爲9×3的矩陣。因爲係數矩陣不是方陣，不可直接求逆，因此使用廣義逆矩陣，採用高斯消元求解。
  計算出工具座標系的位置後，還需要標定計算TCP的姿態。TCP姿態採用 z/x 方向標定，此過程保持TCP的姿態不變。將位置標定點 $P_{4}$作爲第 1個 TCP姿態標定點，示教機器人沿+X 方向至少移動250mm後作爲第 2個標定點$P_{5}$ ; 然後回到第 1個標定點示教機器人沿 +Z方向移動至少250mm作爲第3個標定點$P_{6}$。

  因爲3個標定點的姿態保持不變，可得${^B_E}R_i$ 都相等。因爲第1個姿態標定點與第2 個標定點( 沿 +X 方向) 之間的向量關係也就是工具座標系沿+X 方向的向量，因此得到工具座標系 T 的 X 軸軸向向量：
$X=\begin{bmatrix} {^B}P_{5Ex}- {^B}P_{4Ex}\\ {^B}P_{5Ey}- {^B}P_{4Ey}\\{^B}P_{5Ez}- {^B}P_{4Ez} \end{bmatrix}$
  相似地，根據第1個姿態標定點與第 3個標定點( 沿+Z 方向) 之間的向量關係，由此可以得到工具座標系T 的 Z 軸軸向向量：
$Z=\begin{bmatrix} {^B}P_{6Ex}- {^B}P_{4Ex}\\ {^B}P_{6Ey}- {^B}P_{4Ey}\\{^B}P_{6Ez}- {^B}P_{4Ez} \end{bmatrix}$
  同理Y軸軸向向量由右手定則可得：Y=Z×X再對Z=X×Y 進行計算，以保證座標系矢量的正交性。
  得到每個軸的軸向向量之後，對其進行單位化操作，得到工具座標 T 相對於基座標 B 的姿態，左乘末端座標系 E 旋轉矩陣的逆，求出工具座標系的旋轉矩陣${^E_T}R$=${^B_E}R^{-1}$${^B_T}R$。

用戶座標系｛U｝

  用戶座標系｛U｝即，用戶自定義座標系；機器人可以和不同的工作臺或夾具配合工作， 在每個工作臺上建立一個用戶座標系。
用戶座標系有原點三點標定：
（1）示教第一個點爲用戶座標系原點O
（2）在xyz任意軸上示教一點，例如X軸示教一點$P_x$，則用戶座標系x軸單位向量爲n=($P_x$-O)/norm($P_x$-O)
（3）在剩餘兩軸上示教一點，例如Y軸示教一點$P_y$，則用戶座標系y軸單位向量爲o=($P_y$-O)/norm($P_y$-O)
（4）計算得到則用戶座標系z軸單位向量a=n×o

即，建立好的用戶座標系爲（在基座標系下的描述）：
${^B_U}U=\begin{bmatrix} n_x&o_x&a_x &O_x\\ n_y&o_y&a_y&O_y\\n_z&o_z&a_z&O_z\\0&0&0&1 \end{bmatrix}$
  這樣我們就在基座標系｛B｝下，建立了一個用戶座標系｛U｝，在用戶座標系下測量工作空間內各點位置，更方便記錄描述參數，符合人的直觀。在基座標系下的點$^BP$與用戶座標系下的點$^UP$關係爲：$^BP$=${^B_U}U$ $^UP$