位置、姿態與座標系

位置描述：一旦建立了座標系，就可以用一個3×1的位置矢量對世界座標系中的任何點進行定位。因爲在世界座標系中還有其他座標系，因此必須在位置矢量上附加信息，表明是在哪個座標被定義的。位置矢量用一個前置的上標來表明其參考座標系。例如：^AP。表明^AP的數值是在座標系｛A｝中的表示。矢量中的各個元素用下標x，y，z來表明：^AP=$\left[\begin{matrix}p_x\\p_y\\p_z\end{matrix}\right]$
姿態描述：點的位置描述可用矢量描述，姿態可用固定在物體上的座標系來描述。描述連體座標系｛B｝的一種方法是利用座標系｛A｝的三個主軸單位矢量來表示。我們用$\hat{X}_B$，$\hat{Y}_B$，$\hat{Z}_B$來表示座標系｛B｝主軸方向的單位矢量，當用座標系｛A｝的座標表達式時，它們被寫成^A$\hat{X}_B$，^A$\hat{Y}_B$，^A$\hat{Z}_B$，將這三個單位矢量按照順序排成一個3×3的矩陣，稱該矩陣爲旋轉矩陣，記作：${^A_B}R$（矩陣｛B｝相對於矩陣｛A｝的表達）
${^A_B}R=\begin{bmatrix} ^A\hat{X}_B &^A\hat{Y}_B&^A\hat{Z}_B\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r_{11} &r_{12}&r_{13}\\ r_{21} &r_{22}&r_{23}\\r_{31} &r_{32}&r_{33}\end{bmatrix}\tag{1}$
於是，點的位置可用一個矢量來表示，物體的姿態可用一個矩陣來表示，上式中$r_{ij}$可用每個矢量在其參考座標系中的單位方向上投影的分量來表示。於是${^A_B}R$的各個分量可用一對單位矢量的點積來表示：
${^A_B}R=\begin{bmatrix} ^A\hat{X}_B &^A\hat{Y}_B&^A\hat{Z}_B\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \hat{X}_B \cdot \hat{X}_A &\hat{Y}_B \cdot \hat{X}_A&\hat{Z}_B \cdot \hat{X}_A\\ \hat{X}_B \cdot \hat{Y}_A &\hat{Y}_B \cdot \hat{Y}_A&\hat{Z}_B \cdot \hat{Y}_A\\\hat{X}_B \cdot \hat{Z}_A &\hat{Y}_B \cdot \hat{Z}_A&\hat{Z}_B \cdot \hat{Z}_A\end{bmatrix}\tag{2}$
爲簡單起見，上式最右邊矩陣內的前置上標被省略了。由於兩個單位矢量的點積可得到二者之間夾角的餘弦，因此旋轉矩陣的各分量常被稱作方向餘弦。
觀察式（2）第一行可知：矩陣${^A_B}R$的第一行就是$^B\hat{X}_A$在$\hat{X}_B$，$\hat{Y}_B$，$\hat{Z}_B$上的投影的模，也就是$^B\hat{X}_A^T$，則，
${^A_B}R=\begin{bmatrix} ^A\hat{X}_B &^A\hat{Y}_B&^A\hat{Z}_B\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ^B\hat{X}_A^T \\^B\hat{Y}_A^T\\^B\hat{Z}_A^T\\ \end{bmatrix}\tag{3}$
座標系｛A｝對座標系｛B｝的描述${^B_A}R$可由式（3）轉置得到；即，${^B_A}R$=${^B_A}R^T$，又因爲旋轉矩陣是正交矩陣，一個正交矩陣的逆等於它的轉置，因此，${^B_A}R$=${^B_A}R^T$=${^B_A}R^{-1}$
現在以三個歐拉角中的RotX爲例（其餘兩個歐拉角以此類推），驗證一下以上說的結論。
（1）由於X軸是垂直於YoZ平面的，所以$X_A$和$Y_B$，$Z_B$的點乘結果爲0，同時$X_B$和$Y_A$，$Z_A$的點乘結果也爲0。
（2）由於$X_A$，$X_B$都是單位向量，所以$X_A$和$X_B$的點乘結果爲1。
（3）由於繞x軸旋轉，所以我們觀察$Y_B$和$Z_B$分別在$Y_A$和$Z_A$上的投影情況，如下圖所示。

$R_{Rotx}=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&cos(\theta)&-sin(\theta)\\0&sin(\theta)&cos(\theta) \end{bmatrix}\tag{4}$
座標系描述：位置和姿態的組合稱作座標系，四個矢量爲一組，表示了位置和姿態信息。例如，用，${^A_B}R$和${^A}P_{BORG}$來描述座標系｛B｝，其中${^A}P_{BORG}$是確定座標系｛B｝原點位置矢量：$｛B｝=｛{^A_B}R$，${^A}P_{BORG}｝$
映射：座標系到座標系的變換：已知矢量對某座標系｛B｝的描述，求出它相對另一座標系｛A｝的描述。${^A}P={^A_B}T^BP$，其中${^A_B}T$爲4×4齊次變換矩陣。