學習IMU預積分(1)李羣

背景：目前開始學習IMU的預積分與Christian Forster 與其組員的論文：IMU Preintegration on Manifold for Efficient Visual-Inertial Maximum-a-Posteriori Estimation。

 

這文章涉及到基礎知識李羣與李代數，此文章先鋪墊一下基礎知識，大部分東西都從《視覺SLAM十四講》搬運過來。

 

１．什麼是羣

在普通的算術中，常數ａ,b 相乘相加相減都能使得結構仍擁有同樣屬性，即常數。但是有一些羣體它們只有一種運算使得結果仍然保有同樣屬性。例如，旋轉矩陣(Ｒ)加旋轉矩陣的結果不擁有旋轉矩陣的屬性，即正交性，但旋轉矩陣相乘可以得到另一個旋轉矩陣。

爲了方便，我們把這一些羣體與一種運算給綁定在一起，並且稱之爲羣。

所以，羣＝一個集合＋一個運算。用數學去描述的話，我們可以這樣描述：。當然這裏的星號不一定指的是乘號，也可以是任意一種運算。

除此之外，一個羣之所以爲羣，它的運算必須滿足以下性質：

１．　封閉性：

２．　結合律：

３．　幺元：　

４．　逆：　　

讓我們舉個符合例子：

旋轉矩陣與矩陣乘法

1.

2.

3.

4.

 

再比如整數與算術加法

1. 1+1 = 2　而1,2都是整數

2. 1+2+3 = 6 = 1+(2+3)

3. 0+1=1+0=1

4. 1+(-1)=0

 

所以，這些都是羣。

 

２．什麼是李羣

李羣指的是在光滑的流形裏的羣，這裏可以簡單的認爲是在連續空間（即非離散空間裏的羣）。

 

兩個常見的李羣：SO(n) 與 SE(n)。ｎ指的是維度。例如SO(3), SE(3)這兩個在SLAM裏面常見的李羣，它們都可以用來描述剛體在３Ｄ連續空間裏的運動。

 

SO(3) = 特殊正交羣 = .

用更直觀的話來說，SO(3)的元素是３ｘ３正交矩陣。運算是矩陣乘法。

 

SE(3) = 特殊歐氏羣 = .

用更直觀的話來說，SE(3)的元素是一個４ｘ４的矩陣，而矩陣中包括了３ｘ３正交矩陣與３ｘ１的矢量。運算是矩陣乘法。