學習IMU預積分(2)李代數

背景：目前開始學習IMU的預積分與Christian Forster 與其組員的論文：IMU Preintegration on Manifold for Efficient Visual-Inertial Maximum-a-Posteriori Estimation。

 

這文章涉及到基礎知識李羣與李代數，此文章先鋪墊一下基礎知識，大部分東西都從《視覺SLAM十四講》搬運過來。

 

１．什麼是李代數

李代數用於描述李羣的局部性質，所以每個李羣有其對應的李代數。

李代數＝一個集合＋一個數域＋一個二元運算，用數學描述可以這樣描述：。

這裏可以舉個例子，例如SO(3)就對應李代數, 注意這裏的指的是兩個矢量之間的叉乘。

 

除此之外，李代數的二元運算還必須滿足以下性質：

1. 　封閉性

2.　 雙線性

                    。

3. 　自反性　

4. 　雅克比等價　

 

上面說道的符合這４個性質：

１．兩個３Ｘ 1 矢量叉乘結果是一個３Ｘ 1矢量

２．(維基百科）

３．３維矢量叉乘自己是零，因爲把它和它自己的夾角爲０，又因叉乘公式是。

４．雅克比等價這個我不太知道怎麼證，希望有人留言告訴我。

 

２．　李代數,

上一節我們知道李羣SO(3), SE(3)了。

與SO(3)對應的李代數是so(3), 與SE(3)對應的李代數是se(3)。後者都是描述前者的局部特性。

, 與其對應的二元運算爲矢量叉乘。

指的是旋轉矢量的反對稱矩陣，也可以理解爲三維矢量到三維矩陣的轉換符。我們常常用矩陣代替。

, 與其對應的二元運算爲????。

這裏的不是指的反對稱矩陣，而是六維矢量到四維矩陣的轉換符。這裏的爲旋轉矢量，爲平移矢量。

 

 

下一節讓我們瞭解一下，李羣和李代數的關係以及它們之間的轉換關係（更專業一點，映射關係）。