學習IMU預積分(3)李羣與李代數關係

背景：目前開始學習IMU的預積分與Christian Forster 與其組員的論文：IMU Preintegration on Manifold for Efficient Visual-Inertial Maximum-a-Posteriori Estimation。

這文章涉及到基礎知識李羣與李代數，此文章先鋪墊一下基礎知識，大部分東西都從《視覺SLAM十四講》搬運過來。

１．　關係

我們用SO(3) 來做例子，李羣就是在三維空間裏面的一個流形，如第二節圖所示。而其李代數so(3)就是這個流形在某一點的導數空間，或者說是這個流形在某一點的切面。對於流形，不明白的請看知乎流形討論。

這個關係反應在數學層面上，就有個好處。對於一個旋轉矩陣，它的導數＝它的李代數乘於他自己，i.e., $\dot{R} = \phi^{\Lambda}R=\begin{bmatrix} 0&-\phi_1 & \phi_2\\ \phi_1&0 & -\phi_3\\ -\phi_2& \phi3 & 0 \end{bmatrix}R$

２．　映射

不嚴謹地來說，SO(3)與so(3)之間的映射可以簡單寫爲：

$SO(3) = exp(so(3)^{\Lambda}) <=> R = exp(\phi^{\Lambda})$

$so(3) = log(SO(3))^{\nu} <=> \phi = log(R)^\nu$

３．　增量上的映射

如果在so(3)上加一個增量，即 $\phi+\delta{\phi}$ , 其映射回到SO(3)上的一點（如下圖Ａ點）等價與Ｒ作什麼變動呢？

答案是， $exp(\phi)exp(Jr(\phi)\delta{\phi})$ 。

因Baker-Cambell-Hausdorff告訴我們，

$\phi+\delta{\phi} x \mapsto SO(3) = exp((\phi+\delta{\phi})^{\Lambda}) = exp(\phi^{\Lambda})exp((Jr(\phi)\delta{\phi})^{\Lambda})$

=> $exp((\phi+\delta{\phi})) = exp(\phi)exp((Jr(\phi)\delta{\phi}))$ 即論文公式７。

這裏的 $Jr(\phi)$ 是右雅克比矩陣區別於做雅克比矩陣 $J_l(\phi)$ ， $Jr(\phi)=I - \frac{1-cos(||\phi||)}{||\phi\\^2}\phi^{\Lambda}+\frac{||\phi||+sin(||\phi||)}{||\phi^3||}(\phi^{\Lambda})^2$ 即論文公式8。

如果在SO(3)上乘於一個增量，即 $R\Delta{R}$ , 其映射回到so(3)上的一點等價與 $\phi$ 作什麼變動呢？

答案是， $exp(\phi+Jr^{-1}(\phi)\delta{\phi})$ 。

因Baker-Cambell-Hausdorff告訴我們，

$\small R\Delta{R} x\mapsto so(3):log(R\Delta{R})=log(exp(\phi^{\Lambda})exp(\delta{\phi})^{\Lambda})=log(exp((\phi+Jr^{-1}(\phi)\delta{\phi})^{\Lambda}))$

=> $log(exp(\phi)exp(\delta{\phi}))= \phi+Jr^{-1}(\phi)\delta{\phi}$ 即論文公式9。

至於SE(3)與se(3)我就不展開了，因爲論文裏沒有涉及到。

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