学习IMU预积分(3)李群与李代数关系

背景：目前开始学习IMU的预积分与Christian Forster 与其组员的论文：IMU Preintegration on Manifold for Efficient Visual-Inertial Maximum-a-Posteriori Estimation。

这文章涉及到基础知识李群与李代数，此文章先铺垫一下基础知识，大部分东西都从《视觉SLAM十四讲》搬运过来。

１．　关系

我们用SO(3) 来做例子，李群就是在三维空间里面的一个流形，如第二节图所示。而其李代数so(3)就是这个流形在某一点的导数空间，或者说是这个流形在某一点的切面。对于流形，不明白的请看知乎流形讨论。

这个关系反应在数学层面上，就有个好处。对于一个旋转矩阵，它的导数＝它的李代数乘于他自己，i.e., $\dot{R} = \phi^{\Lambda}R=\begin{bmatrix} 0&-\phi_1 & \phi_2\\ \phi_1&0 & -\phi_3\\ -\phi_2& \phi3 & 0 \end{bmatrix}R$

２．　映射

不严谨地来说，SO(3)与so(3)之间的映射可以简单写为：

$SO(3) = exp(so(3)^{\Lambda}) <=> R = exp(\phi^{\Lambda})$

$so(3) = log(SO(3))^{\nu} <=> \phi = log(R)^\nu$

３．　增量上的映射

如果在so(3)上加一个增量，即 $\phi+\delta{\phi}$ , 其映射回到SO(3)上的一点（如下图Ａ点）等价与Ｒ作什么变动呢？

答案是， $exp(\phi)exp(Jr(\phi)\delta{\phi})$ 。

因Baker-Cambell-Hausdorff告诉我们，

$\phi+\delta{\phi} x \mapsto SO(3) = exp((\phi+\delta{\phi})^{\Lambda}) = exp(\phi^{\Lambda})exp((Jr(\phi)\delta{\phi})^{\Lambda})$

=> $exp((\phi+\delta{\phi})) = exp(\phi)exp((Jr(\phi)\delta{\phi}))$ 即论文公式７。

这里的 $Jr(\phi)$ 是右雅克比矩阵区别于做雅克比矩阵 $J_l(\phi)$ ， $Jr(\phi)=I - \frac{1-cos(||\phi||)}{||\phi\\^2}\phi^{\Lambda}+\frac{||\phi||+sin(||\phi||)}{||\phi^3||}(\phi^{\Lambda})^2$ 即论文公式8。

如果在SO(3)上乘于一个增量，即 $R\Delta{R}$ , 其映射回到so(3)上的一点等价与 $\phi$ 作什么变动呢？

答案是， $exp(\phi+Jr^{-1}(\phi)\delta{\phi})$ 。

因Baker-Cambell-Hausdorff告诉我们，

$\small R\Delta{R} x\mapsto so(3):log(R\Delta{R})=log(exp(\phi^{\Lambda})exp(\delta{\phi})^{\Lambda})=log(exp((\phi+Jr^{-1}(\phi)\delta{\phi})^{\Lambda}))$

=> $log(exp(\phi)exp(\delta{\phi}))= \phi+Jr^{-1}(\phi)\delta{\phi}$ 即论文公式9。

至于SE(3)与se(3)我就不展开了，因为论文里没有涉及到。

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