動態規劃-01揹包問題

題目描述:

一個揹包有一定的承重cap.
有N件物品，每件都有自己的價值，記錄在數組v中，也都有自己的重量，記錄在數組w中.
每件物品只能選擇要裝入揹包還是不裝入揹包，要求在不超過揹包承重的前提下，選出物品的總價值最大。
給定物品的重量w價值v及物品數n和承重cap。請返回最大總價值。

求解過程:

首先生成N*CAP+1的矩陣dp
dp[x][y]的含義爲以前X件物品組成的不超過重量y的最大價值
則dp[x][y]可能有以下值
一:dp[x][y] = dp[x-1][y];//不拿第X件物品,剩下的總重量不超過y
二:dp[x][y] = dp[x-1][y-w[x]]+v[x];//拿取第X件物品,剩下的總重量不超過y-w[x];
dp[x][y]爲倆者中較大值.
對於第一件物品,即X = 0來說,當y大於W[0]時dp[0][y] = v[0];
至此,求解完畢.dp[n-1][cap]即爲所求.

實現代碼

class Backpack {
public:
    int maxValue(vector<int> w, vector<int> v, int n, int cap)
     {
        vector<vector<int> >dp(n, vector<int>(cap+1, 0) );
        for (int i=w[0]; i<=cap; ++i)
            dp[0][i] = v[0];
        for (int i=1; i<n; ++i) 
        {
            for (int j=0; j<=cap;++j) 
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if(j>=w[i])
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
            }
        }
        return dp[n-1][cap];
    }
};