本人是個足球迷，從06年世界盃開始看球，09年開始徹底愛上足球。關注五大聯賽，歐洲冠軍聯賽等衆多國際賽事。在足球的賽事中，在我看來，最讓人刺激的就是終場前的絕殺了，除此之外，就是點球大戰了。一直對點球大戰中先手後手獲勝的概率比較好奇，因此，閒暇時對該問題進行了研究。
在這裏，我們的前提條件是假設進球概率爲p，暫不考慮其他因素，考慮球員踢球這一事件爲一次獨立實驗。那麼我們對這個問題建立概率模型，就是做n次獨立重複試驗，當然，是受限制條件的獨立重複試驗。根據足球點球大戰規則，在前5輪互射點球過程中，如果沒有分出勝負，則依次進行一輪定勝負，直到有一方勝出爲止。而前五輪的結束條件也有很多種情形。那麼，對前五輪的各種情形進行分析：（假設先手爲A隊，後手爲B隊）（注：C(m,n)代表以m爲底的組合數）
首先，我們要明確的是，點球大戰至少要踢三輪。
那麼我們依次考慮三輪，四輪，五輪結束比賽的情形：
三輪結束：只有一種情形。A3:0B。對應的贏球概率爲p^3*(1-p)^3。
四輪結束：要分以下情形：
A2:0B 這種情形下，對應的概率爲P = C(4,2)*p^2*(1-p)^6
A3:1B 這種情形下,要分情況：不能提前結束比賽。對應的概率爲P = C(3,1)*p^4*(1-p)^4+C(3,2)*p^4*C(3,1)*(1-p)^4
A3:0B 這種情形下,對應的概率爲P = C(3,2)*p^3*(1-p)^4
A4:2B 這種情形下,對應的概率爲P = C(3,2)*p^6*(1-p)^2
A4:1B 這種情形下,對應的概率爲P = C(3,1)*p^5*(1-p)^2
五輪結束：要分以下情形：
A5:3B 這種情形下，對應的概率爲P = C(4,3)*p^8*(1-p)
A5:4B 這種情形下,對應的概率爲P = C(5,1)*p^9*(1-p)
A4:3B 這種情形下,要分情況：不能提前結束比賽。對應的概率爲P = C(4,3)*p^7*(1-p)^3+ C(4,3)*p^7*C(4,3)*(1-p)^2
A4:2B 這種情形下,對應的概率爲P = C(4,1)*p^6*C(4,2)*(1-p)^3
A3:2B 這種情形下,要分情況：不能提前結束比賽。對應的概率爲P = C(4,3)*p^5*C(4,2)*(1-p)^5+ C(4,2)*p^5*C(4,2)*(1-p)^5
A3:1B 這種情況下，對應的概率爲P = C(4,2)*p^4*C(4,1)*(1-p)^5
A2:1B 這種情況下，對應的概率爲P = C(4,2)*p^3*C(4,1)*(1-p)^7+ C(4,1)*p^3*C(4,1)*(1-p)^7
A2:0B 這種情況下，對應的概率爲P = C(4,1)*p^2*(1-p)^7
A1:0B 這種情況下，對應的概率爲P = C(5,1)*p*(1-p)^9
將上述情形的概率累加得到：
P(5輪內A勝) = p^3*(1-p)^3+6*p^2*(1-p)^6+12*p^4*(1-p)^4+3*p^3*(1-p)^4+3*p^6*(1-p)^2+3*p^5*(1-p)^2+4*p^8*(1-p)+5*p^9*(1-p)+4*p^7*(1-p)^3+16*p^7*(1-p)^2+24*p^6*(1-p)^3+60*p^5*(1-p)^5+24*p^4*(1-p)^5+40*p^3*(1-p)^7+4*p^2*(1-p)^7+5*p*(1-p)^9
=-p*(114*p^9 - 602*p^8 + 1419*p^7 - 1960*p^6 + 1780*p^5 - 1126*p^4 + 505*p^3 - 160*p^2 + 35*p - 5)
而5輪平局有6種情形，概率爲：P(5輪內A平)=C(5,0)*C(5,0)*(1-p)^10+C(5,1)*p^2*C(5,1)*(1-p)^8+C(5,2)*p^4*C(5,2)*(1-p)^6+C(5,3)*p^6*C(5,3)*(1-p)^4+C(5,4)*p^8*C(5,4)*(1-p)^2+C(5,5)*p^10*C(5,5)
而對於5輪平局之後的情形，大概能猜到獲勝概率爲0.5。數學推導爲：假設A獲勝的概率爲P1，那麼，A要拿下比賽，要麼他第一次進球了，要麼沒進球，而且沒進球的情形下又重新回到當前狀態，其狀態爲S這樣可以得到一個狀態轉移概率表達式爲：
P1(S) = p*(1-p)+(1-p)^2*P1(S)+p^2*P1(S)解得P1(S) = 0.5。
綜上，可以求得P(最終A勝)=P(5輪內A勝)+P(5輪內A平)*0.5 = 12*p^10 - 28*p^9 + 16*p^8 + 1/2，是一個關於p的多項式。
matlab繪圖：
在0.85左右達到最大值，勝率爲0.74左右。而最低勝率爲0.5，取決於p。
這樣一來，在不考慮其他因素，如場外信息，球員心態等的條件下可以認爲，先罰點球的一方勝率更高。
本文從概率意義上對點球大戰的獲勝情況進行研究，如有錯誤，還望指正。
