点球大战中的概率问题

原創

2020-02-20 15:20

本人是个足球迷，从06年世界杯开始看球，09年开始彻底爱上足球。关注五大联赛，欧洲冠军联赛等众多国际赛事。在足球的赛事中，在我看来，最让人刺激的就是终场前的绝杀了，除此之外，就是点球大战了。一直对点球大战中先手后手获胜的概率比较好奇，因此，闲暇时对该问题进行了研究。

在这里，我们的前提条件是假设进球概率为p，暂不考虑其他因素，考虑球员踢球这一事件为一次独立实验。那么我们对这个问题建立概率模型，就是做n次独立重复试验，当然，是受限制条件的独立重复试验。根据足球点球大战规则，在前5轮互射点球过程中，如果没有分出胜负，则依次进行一轮定胜负，直到有一方胜出为止。而前五轮的结束条件也有很多种情形。那么，对前五轮的各种情形进行分析：（假设先手为A队，后手为B队）（注：C(m,n)代表以m为底的组合数）

首先，我们要明确的是，点球大战至少要踢三轮。

那么我们依次考虑三轮，四轮，五轮结束比赛的情形：

三轮结束：只有一种情形。A3:0B。对应的赢球概率为p^3*(1-p)^3。

四轮结束：要分以下情形：

A2:0B 这种情形下，对应的概率为P = C(4,2)*p^2*(1-p)^6

A3:1B 这种情形下,要分情况：不能提前结束比赛。对应的概率为P = C(3,1)*p^4*(1-p)^4+C(3,2)*p^4*C(3,1)*(1-p)^4

A3:0B 这种情形下,对应的概率为P = C(3,2)*p^3*(1-p)^4

A4:2B 这种情形下,对应的概率为P = C(3,2)*p^6*(1-p)^2

A4:1B 这种情形下,对应的概率为P = C(3,1)*p^5*(1-p)^2

五轮结束：要分以下情形：

A5:3B 这种情形下，对应的概率为P = C(4,3)*p^8*(1-p)

A5:4B 这种情形下,对应的概率为P = C(5,1)*p^9*(1-p)

A4:3B 这种情形下,要分情况：不能提前结束比赛。对应的概率为P = C(4,3)*p^7*(1-p)^3+ C(4,3)*p^7*C(4,3)*(1-p)^2

A4:2B 这种情形下,对应的概率为P = C(4,1)*p^6*C(4,2)*(1-p)^3

A3:2B 这种情形下,要分情况：不能提前结束比赛。对应的概率为P = C(4,3)*p^5*C(4,2)*(1-p)^5+ C(4,2)*p^5*C(4,2)*(1-p)^5

A3:1B 这种情况下，对应的概率为P = C(4,2)*p^4*C(4,1)*(1-p)^5

A2:1B 这种情况下，对应的概率为P = C(4,2)*p^3*C(4,1)*(1-p)^7+ C(4,1)*p^3*C(4,1)*(1-p)^7

A2:0B 这种情况下，对应的概率为P = C(4,1)*p^2*(1-p)^7

A1:0B 这种情况下，对应的概率为P = C(5,1)*p*(1-p)^9

将上述情形的概率累加得到：

P(5轮内A胜) = p^3*(1-p)^3+6*p^2*(1-p)^6+12*p^4*(1-p)^4+3*p^3*(1-p)^4+3*p^6*(1-p)^2+3*p^5*(1-p)^2+4*p^8*(1-p)+5*p^9*(1-p)+4*p^7*(1-p)^3+16*p^7*(1-p)^2+24*p^6*(1-p)^3+60*p^5*(1-p)^5+24*p^4*(1-p)^5+40*p^3*(1-p)^7+4*p^2*(1-p)^7+5*p*(1-p)^9

=-p*(114*p^9 - 602*p^8 + 1419*p^7 - 1960*p^6 + 1780*p^5 - 1126*p^4 + 505*p^3 - 160*p^2 + 35*p - 5)

而5轮平局有6种情形，概率为：P(5轮内A平)=C(5,0)*C(5,0)*(1-p)^10+C(5,1)*p^2*C(5,1)*(1-p)^8+C(5,2)*p^4*C(5,2)*(1-p)^6+C(5,3)*p^6*C(5,3)*(1-p)^4+C(5,4)*p^8*C(5,4)*(1-p)^2+C(5,5)*p^10*C(5,5)

而对于5轮平局之后的情形，大概能猜到获胜概率为0.5。数学推导为：假设A获胜的概率为P1，那么，A要拿下比赛，要么他第一次进球了，要么没进球，而且没进球的情形下又重新回到当前状态，其状态为S这样可以得到一个状态转移概率表达式为：

P1(S) = p*(1-p)+(1-p)^2*P1(S)+p^2*P1(S)解得P1(S) = 0.5。

综上，可以求得P(最终A胜)=P(5轮内A胜)+P(5轮内A平)*0.5 = 12*p^10 - 28*p^9 + 16*p^8 + 1/2，是一个关于p的多项式。

matlab绘图：