這裏首先討論一個長期以來困惑工科甚至物理系學生的一個數學問題，即，究竟什麼是面積，以及面積的高維推廣（體積等）？
1 關於面積：一種映射
大家會說，面積，不就是長乘以寬麼，其實不然。我們首先明確，這裏所討論的面積，是歐幾里得空間幾何面積的基本單位：平行四邊形的面積。平行四邊形面積的定義，幾何上說是相鄰兩邊邊長乘以他們之間的夾角的正弦。
然而爲了應對更一般情形和更高維度的數理問題，我們有必要把面積的定義推廣開來。注意到以下事實：
面積是一個標量，它來自於（構成其相鄰邊）兩個矢量。因此，我們可以將面積看成一個映射：
其中V就是一個矢量，V*V代表兩個矢量的有序對；f就是面積的值。
下面我們將說明這個映射是一個線性映射。
從最簡單的例子出發。如果第一個矢量是（1，0），第二個矢量是（0，1）；也就是說，兩個矢量分別是X和Y軸上的單位正向量，那麼由這兩個矢量張成的四邊形就是一個正方形，其面積根據定義，就是長乘以寬=1*1=1。
因此有：
如果我們把第一個矢量”縮放“a倍，面積將會相應是原來的a倍；把第二個矢量“縮放”b倍，面積也會成爲原來的b倍。如果同時縮放，很顯然，面積將會變成原面積的ab倍。這表明，面積映射對於其兩個操作數（矢量）的標量積是各自線性的，如下：
最後，我們要說明，面積映射對於其操作數（矢量）的矢量加法也是線性的。因爲矢量加法操作的本身是線性的，那麼其面積映射理應對此也是一個線性映射。這裏我們打算從幾個實際的例子出發，說明映射的加法線性性的後果。
顯然（兩個共線矢量所張成的平行四邊形還是一條線，因此面積爲0）：
假定面積映射是一個關於矢量加法的線性映射，那麼我們有：
注意計算過程中用到了上面的結論。這說明：
也就是說，交換相互垂直操作數矢量的順序，面積映射取負。孰正孰負取決於認爲的定義。一般，我們把X軸單位矢量在前，Y軸單位矢量在後，從X軸到Y軸張成的一個平行四邊形的面積，取做正號。
1.1 右手定則
由此我們引入右手定則。注意右手定則只在三維空間中有效。如果以X正方向爲首，Y正方向爲尾，右手定則告訴我們，紙面向外是面積的正方向；如果反過來，那麼紙面向內就是該面積的正方向，與規定的正方向相反，取負號。那麼面積正負號的幾何意義就明顯了。
由此，我們不難得到平面內任意兩個矢量所張成的平行四邊形的面積（*）：
我們不難看到，所謂面積就是一個2X2矩陣的行列式：
如下圖。
其中第一行就是我們的第一個行向量(a,b)；第二行就是第二個行向量(c,d)。或者第一列是第一個列向量(a,b)^T, 第二列是第二個列向量(c,d)^T。這取決於我們把矢量寫成行向量（前者）還是列向量（後者）的形式。
1.2 行列式的計算性質
由此我們很容易能發現，行列式的值與把矢量寫成列向量橫排還是行向量豎排的方式是無關的。這也就是爲什麼說，在計算行列式時，行和列的地位是對等的。並且注意到，由上述分析，交換矢量的順序，面積的值取負號，這也就是爲什麼行列式中，交換列向量或者行向量一次，就要取一次負號的原因。另外，行列式的其他計算性質，都一一反映在面積映射的線性性之中。
由此我們可見，行列式就是關於“面積”的推廣。他就是在給定一組基下，N個向量張成的一個N維廣義四邊形的體積。這就是行列式的本質含義。
2，行列式的推廣
由上，我們可以輕鬆推廣到三維體積的計算：
注意到，行列式的定義，是每一行各取一個不同列的元素的乘積並且符號和所謂的逆序性有關（PARITY）。所謂逆序性，其幾何意義就是在規定了一個正方向之後（比如從1,2,3,4,5...N這個順序定義爲正號），交換任意一對數都取一次負號。這樣的性質我們在上述的面積函數中已經有所看到，實際上體積，更高維度的廣義體積，也有正方向之說，只不過已經難以用右手法則（以及叉乘）來形象說明罷了。右手定則的侷限性也是將高維面積推廣成行列式表達的一個動機之一。
對於這種交換任何一對指標（操作數）就改變符號的性質，我們叫做：反對稱（ANTISYMMETRIC）性。之所以要取不同行不同列元素的乘積，是因爲如果有任意兩個元素是同行（列）的，那麼交換他們的列指標，乘積不變但符號要相反，這乘積必須是0，也就是在行列式的值中不予體現。
行列式的定義之所以這麼冗雜，就是來自於面積映射的反對稱性。實際上面積映射是一個2-FORM，把2-FORM拓展到任意的R-FORM，我們能看到R-FORM的形式和一個R乘R矩陣的行列式是完全一致的。
由上我們已經可以看到，2-FORM代表的是平面內的面積；3-FORM自然而然就是3維空間內的體積；4-FORM是4維空間裏的超體積。以此類推。而實際上，由上我們已經看到，將這些矢量在給定的基座標下寫成矩陣（必定是方陣），矩陣的行列式就是對應的面積（體積）。這個推廣的證明各位應該能在任何一本線性代數的專門教材中看到（如果沒有的話可以自證）。
3，線性無關的幾何意義
記空間的維度爲N，給定一組矢量，什麼是他們線性無關性？我們下面將說明，一組矢量的線性相關性本質上，是描述他們所張成的廣義平行四邊形體積是否爲NULL（零）。
我們仍然從最簡單的2維空間出發。如果兩個2維空間的向量是線性相關的，那麼就是說，其中一個與另外一個共線，也就是說，他們所張成的四邊形，面積是零。反之，如果線性無關，則不共線，則面積不爲零。
同理，如果三個三維空間的向量是線性無關的，那麼他們三者就不共面。因此他們所張成的平行六面體，體積不是零。
更進一步地，我們知道，二維空間如果給定三個向量，他們必定共面（二維空間內不可能存在一個“體積”），因此他們必定線性相關。推而廣之，我們不難理解，爲什麼一個維度爲N的空間內，任意一組M個向量（M>N）必定線性相關了：因爲維度大於空間維度的超平形四邊體不存在。
由此我們得到一個一一對應的關係：
N個向量線性無關 == 他們所張成的N維體體積不爲零
反之，如果N個向量線性相關，那麼他們所張成N維體，體積爲零。
例如，一對共線矢量張成的平行四邊形，退化成一個線，其面積顯然是0；一組共面的三個矢量張成的平行六面體，退化成一個面，其體積顯然是0。
因爲我們已經知道行列式與面積的關係，因此我們有結論：
線性無關矢量組成的矩陣的行列式不爲零；線性相關矢量組成的矩陣的行列式必爲零。
4，行列式與矩陣的逆
我們知道，行列式爲0的矩陣，不可逆；行列式不爲零的矩陣，可逆。我們不禁要問，代表面積的行列式，是如何和線性變換的可逆性聯繫在一起的呢？
當我們理解了線性變換的幾何意義之後，就不難解答了。我們現陳述如下：
記線性變換的矩陣爲A。
如果我們把空間中一組線性無關的矢量都寫成列向量的形式，那麼他們所張成的N維體體積不爲零，根據上面的分析，其值由行列式給出。向量經過線性變換A變換之後，得到的新向量形式如下：
注意到A是一個N*N的矩陣，向量是列向量。
變換前，N維體的體積是：
變換之後，N維體的體積是（注意到，第二個等式實際上說明了幾何意義是如何定義矩陣乘法的，也就是N*N矩陣A和另外一個N個列向量組成的N*N矩陣的乘法）：
A的行列式如果不爲零，則代表這個變換後，N維體的體積不是NULL。又結合線性無關與體積的性質，我們可以說：
如果A的行列式不爲零，那麼A可以把一組線性無關的矢量，映射成一組新的，線性無關的矢量；A是可逆的（一對一的映射，保真映射，KERNEL是{0}）
如果A的行列式爲零，那麼A就會把一組線性無關的矢量，映射成一組線性相關的矢量；A就不是可逆的（非保真映射，KERNEL不是{0}。我們可以研究他的陪集）
如果A的行列式爲負數，那麼A將會改變原N維體體積的朝向。
從線性無關到線性相關，其中丟失了部分信息（例如坍縮成共線或者共面），因此這個變換顯然就是不可逆的。線性是否無關和所張成N維體的體積有直接關係，這個體積值又與A的行列式有關。因此我們就建立了A的行列式與其是否可逆的幾何關係。
舉例說明，我們假設A是一個3維的矩陣。如果映射前，有一組三個線性無關的矢量，我們知道它們張成的體積不是0；經過映射後，他們對應的新矢量也能張成一個平行六面體，那麼這個平行六面體的體積就是原體積乘以A的行列式。
顯然，如果A的行列式是0，那麼變換後的新“平行六面體"的體積將不可避免的也是0。根據上文的結論，我們有：變換後的這一組新矢量線性相關。
結論：
線性變換A的行列式是否爲零，就代表了其映射的保真性，也即，能不能把一組線性無關的矢量變換成另一組保持無關性的矢量。
5，秩
有時候，雖然A並不能保持把空間一組最大數目矢量的線性無關性，但它能保證一組更少數目矢量的線性無關性。這個數目往往少於A的維度（或者說，線性空間的維度），這個數目就叫做線性變換A的秩。
例如，一個秩爲2的三乘三矩陣A。因爲秩小於3，那麼任何一個3維六面體經過他的變換後，體積都爲零（退化一個面）；但存在一個面積不爲零的面，在變換之後還可以是一個非零面積的面。
所謂一個線性變換的秩，無非就是變換後，還能保持非零體積的幾何形狀的最大維度。
理解了秩，行列式和可逆性的幾何意義，我們就能隨意構造一些線性變換A，使得他要麼保全所有的幾何體，要麼將特定維度特定結構的幾何體，壓縮成更低維度的幾何體。這不就是所謂的“降維打擊”麼。。所以說，三體中的終極必殺，其實也就是一個行列式爲0，秩比維度少1的一個線性變換而已。
