數論之乘法逆元

一、定義

指數學領域羣G中任意一個元素a，都在G中有唯一的逆元a‘，具有性質a×a’=a’×a=e，其中e爲該羣的單位元。（可以理解爲倒數，因爲積是單位e）

二、作用

在求組合數取模的時候，當Cmn =n!m!∗(n−m)! 中的分母過大時，可能會爆出long long的內存範圍，取模處理對於除法並不適用，所以我們可以用逆元將除法換成乘法。

三、性質

假設b存在乘法逆元，即與m互質（充要條件）。
設c是b的逆元，即b∗c≡1(mod m)，
那麼有a/b(mod m) =(a/b)∗1(mod m) =(a/b)∗b∗c(mod m) =a∗c(mod m)
即，除以一個數取模等於乘以這個數的逆元取模。

四、求法

1.逆元求法一般用拓展歐幾里得定理。
2.m爲質數時直接用費馬小定理，m爲非質數時用歐拉函數。
3.m爲質數時，還可以用神奇的線性方法。

1.拓展歐幾里得定理 ——要求a,m互素

(1).簡單證明：
歐幾里得算法：gcd(a,b)。
擴展歐幾里得：一定能找到x和y，使得a*x+b*y=gcd(a,b)。當a與b互質的時候，我們可以得到gcd(a,b)=1，a*x+b*y=1，等式兩邊同時mod b，即可得到a*x≡1(mod b)，因此x是a的逆元。

而用擴展歐幾里得求出乘法逆元則是求出最小的x非負整數解，對於x有通解x0+(b/gcd)*t，因此對於最後的結果%b的絕對值便可得到（以防b爲負），如果結果爲負，則加上abs(b)便可得到最小的結果。←不是很明白 遇到題再說

(2).代碼

int extgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    int d = a;
    if(b)
    {
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else 
    {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    return d;
}
int mod_inverse(int a, int m)
{
    int x, y;
    extgcd(a, m, x, y);
    return (m + x % m) % m;
}

2.費馬小定理 ——m爲素數

(1).簡單證明
費馬小定理：假如m是質數，且gcd(a,m)=1，那麼 am−1 ≡1（mod m）。

根據這個公式，進行一下變形可以得到am−2 ≡a−1 （mod m），所以我們可以說am−2 爲a的乘法逆元。
(2).代碼
利用快速冪求出。

ll power_mod(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
inv = power_mod(a, mod - 2, mod);

歐拉函數 ——m爲非素數

(1).簡單證明
歐拉函數：對正整數n，歐拉函數是小於n的正整數中與n互質的數的數目。例如φ(8)=4，因爲1,3,5,7均和8互質。
歐拉定理：若a,p爲正整數，且a,p互質，則aφ(p) ≡1（mod p）。

對上式變形，得aφ(p)−1 ≡a−1 （mod p），所以aφ(p)−1 是a的逆元。

long long euler(int p)  
{  
    long long ans=p,a=p;  
    long long i;  
    for(i=2;i*i<=a;i++)  
    {  
        if(a%i==0)  
        {  
            ans=ans/i*(i-1);  
            while(a%i==0)  
                a/=i;  
        }  
    }  
    if(a>1)  
        ans=ans/a*(a-1);  
    return ans;  
}  

long long eu=euler(mod)-1;  

long long inv(long long a)  
{  
    return Pow(a,eu);  
}  

long long C(long long n,long long m)  
{  
    if(n<m)  
        return 0;  
    return fac[n]*inv(fac[m])%mod*inv(fac[n-m])%mod;  
}  

3.神奇的線性方法 ——m爲素數

規定m爲質數，且1−1 ≡1(mod m)
設m=k∗a+b,b＜a,1＜a＜m，即k∗a+b≡0(mod m)
兩邊同時乘以a−1 ∗b−1 ，得到
k∗b−1 +a−1 ≡0(mod m) ,移項得
a−1 ≡−k∗b−1 (mod m) ，
又因爲k=ma ，b=m mod a
所以 a−1 ≡−ma ∗(mmoda)−1 (mod m)
從頭開始掃一遍即可，時間複雜度O(n)

(2)代碼

int inv[maxn];
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn; i++)
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;

參考博客：
三種求逆元的方法寫的很清晰
師哥寫的很詳細XD

當然各種定理還是參考了我們神奇的大百度23333

ps：拖了這麼久的逆元終於寫完了O(∩_∩)O~~