理解卷積

什麼是卷積?有很多官方和非官方的解釋,看了這些解釋後我還是沒有弄懂卷積的各個細節,經過一段時間學習後說說我理解的卷積。

首先我們先看看卷積公式(離散型):
這裏寫圖片描述

上面各項的含義是什麼?在信號與系統中,x(i)代表一個輸入,或者一個刺激,h(n)代表一個系統對單位輸入信號或刺激的響應,y(n)代表在多次x
的輸入下,該系統的整體響應。以一個單細胞細菌爲例(如草履蟲),我們用針扎一下該細菌,這相當於x輸入,細胞會由靜止,產生一個加速g,速度瞬間達到最大v1,急速的跑開,隨着跑的距離增加,速度逐漸下降,細菌覺得安全了,加速度和速度最終變爲0。這就是系統的衰減。如果在細菌停下來之前的某一時刻速度爲v,我們又紮了它一下,那麼它的速度可能變成了v+v1,這就是累積刺激所帶了的疊加

這個例子描述的比較粗糙,但也基本揭示了卷積背後的關鍵問題,疊加和衰減。

再讓我們回過頭來看看卷積的公式,很容易發現,公式中Σ符號體現了疊加,那麼哪裏體現了衰減呢?尋找到它對我們理解卷積至關重要。

先讓我們看看細菌的逃跑函數h(n):
這裏寫圖片描述

心裏想着這個曲線的模樣,讓我們展開卷積公式:
這裏寫圖片描述

展開很簡單,重點就存在其中:
y(0),0爲現在,此刻我們扎它一下的反應(h(0)值最大)。

y(1), 過了一秒,此時細菌還沒停,我們又紮了它一下。如果不存在疊加,那麼我們的輸出就是x(1)h(0),但關鍵就是這裏存在疊加,那麼在x(1)刺激發生之前,細菌的速度是多少了呢?是x(0)h(1)!爲什麼乘以h(1)?因爲速度存在衰減
同理y(2)是第2秒我們又紮了它一下,總共紮了3次,最早的那次已經衰減到了h(2),中間那次衰減到了h(1),現在扎的這下還沒來得及衰減,是h(0)。
這就是累加衰減

通過展開公式再回過頭看原來的卷積公式,
這就是爲什麼卷積公式是h(n-i)而不是(i-n)或(n+i)之類的原因。

另外觀察y(2) ,爲了書寫簡便,可以寫成矩陣相乘的形式。

最後總結一下什麼是卷積:
預知今日因,前日受者是;預知來世果,今日作者是。

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