視覺SLAM總結-李羣李代數

原創

cv_slamer

2020-02-21 23:47

1.李羣和李代數基礎

2.指數對數映射關係

3.李代數求導與擾動模型

在做vSLAM，使用到對旋轉矩陣的求導，需要用到李羣李代數知識，講矩陣映射到李代數形式，方便求導，主要包含特殊正交羣SO(3),特殊歐幾里得羣SE(3),表示位姿。旋轉矩陣是特殊正交羣，而變換矩陣是特殊歐氏羣。旋轉矩陣自身是帶有約束的（正交且行列式爲1），她們作爲優化變量時，會引入額外的約束，使得優化較爲困難。因而我們引入了李代數的概念（具體不再介紹，反正在優化的過程中需要把李羣轉換爲李代數，進而進行求導和優化）。

1.李羣和李代數基礎

羣（Group）是一個集合加上一種運算所構成的代數結構。該運算將兩個元素a和b組成另外一個元素，記爲a·b或者ab。記集合爲G，運算爲· ，則當滿足一下四個性質的時候，稱(G, •)爲一個羣。

（1）封閉性（closure）：任意a，b屬於G，有a·b仍然屬於G;

（2）結合性（associativity）：任意a，b，c屬於G，有(a·b)·c = a·(b·c);

（3）單位元（幺元）（identity）：存在a0屬於G，對任意b屬於G，均有a0·b = b·a0= b;

（4）逆元（invertibility）：任意a屬於G，存在a1屬於G，使得a·a1= a0 。

注意事項：

旋轉矩陣是特殊正交羣，而變換矩陣是特殊歐氏羣，他們對加法不封閉；換句話說，按照矩陣加法的定義，矩陣的和並不再是一個旋轉矩陣。
羣是一個集合加上一種運算。特殊正交羣以及特殊歐氏羣的運算是乘法，不支持加法運算，無法求導。
李羣是指具有連續（光滑）性質的羣。特殊正交羣和特殊歐氏羣在實數空間上是連續的，剛體能夠連續地在空間中運動，所以它們都是李羣。

特殊正交羣和特殊歐幾里得羣

李代數：

對於任意一個李羣，都存在一個李代數與之對應。李代數是一種位於向量空間的代數結構。李代數包含一個集合V，一個數域F和一個二元運算[ , ]。如果它們滿足一下四條性質（封閉性、雙線性、自反性、雅克比等價），就稱(V, F, [ , ]) 爲一個李代數。

（1）封閉性（closure）：任意X,Y屬於V,[X, Y]屬於V,

（2）雙線性（bilinearity）：任意X,Y,Z屬於V ,a,b屬於F，[aX+bY,Z] = a[X,Z]+b[Y,Z], [Z, aX+bY]= a[Z,X]+b[Z,Y],

（3）自反性（alternating）：任意X屬於V,[X, X] =0,

（4）雅克比等價（Jacobi identity）：任意X,Y,Z屬於V,[X, [Y,Z]] + [Z, [X,Y]] +[Y, [Z,X]] =0